Vi deriverer $f(x)={\displaystyle \frac{6}{1+e^{-x}}}$ ved kvotientregelen. Det er praktisk å skrive $f(x)=6\cdot {(1+e^{-x})}^{-1}$ og bruke kjerneregelen:

Vi ser at:

• Telleren $6e^{-x}>0$ for alle $x$ (eksponentialfunksjonen er alltid positiv).
• Nevneren ${(1+e^{-x})}^2>0$ for alle $x$ (et kvadrat av et positivt tall).

Dermed er $f^{\prime }(x)>0$ for alle $x$, og grafen til $f$ er alltid stigende.

Siden $e^{-x}>0$ for alle $x$, er nevneren $1+e^{-x}>1>0$.

Dermed er $f(x)={\displaystyle \frac{6}{1+e^{-x}}}<{\displaystyle \frac{6}{1}}=6$.

Siden nevneren $1+e^{-x}>1$, er $f(x)<6$.

Siden teller og nevner begge er positive, er $f(x)>0$.

Altså er $\mathrm{𝟎}<𝐟(𝐱)<\mathrm{𝟔}$ for alle verdier av $x$.

(Når $x\to -\infty$ nærmer $f(x)$ seg $0$, og når $x\to +\infty$ nærmer $f(x)$ seg $6$. Linjene $y=0$ og $y=6$ er horisontale asymptoter.)

Vi finner andrederivert. Fra a) er $f^{\prime }(x)=6e^{-x}{(1+e^{-x})}^{-2}$.

Vi deriverer ved produktregelen:

Vi setter $f^{\prime \prime }(x)=0$:

Telleren $6e^{-x}(e^{-x}-1)=0$ gir (siden $e^{-x}\ne 0$):

Fortegnsskifte: For $x<0$ er $e^{-x}>1$, så $(e^{-x}-1)>0$, altså $f^{\prime \prime }(x)>0$ (konveks). For $x>0$ er $e^{-x}<1$, så $(e^{-x}-1)<0$, altså $f^{\prime \prime }(x)<0$ (konkav). Det er et fortegnsskifte, så $x=0$ er et vendepunkt.

Funksjonsverdien er:

Grafen til $f$ har vendepunkt i $\underline{\underline{(0,3)}}$.

Grafen til $f$ har S-form (logistisk kurve): den er alltid stigende, nærmer seg $y=0$ fra oven for store negative $x$-verdier, og nærmer seg $y=6$ nedenfra for store positive $x$-verdier. Vendepunktet er i $(0,3)$, der grafen skifter fra å være konveks til konkav.