Logistisk funksjon fra graf

På figuren nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen $f$ , der $f(x)$ er på formen

f(x) = \frac{A}{1 + B \cdot e^{-kx}}, \quad k > 0

I samme figur har vi også tegnet inn tangenten til grafen til $f$ i punktet $(0, 2)$ . Vi har også tegnet inn linjen $y = 10$ , som er en asymptote til grafen til $f$ .

Logistisk funksjon med tangent og asymptote

Bestem tallene $A$ og $B$ .

Gjør nødvendige beregninger og vis at $k = 0{,}5$ .

Fasit

$A = 10$ og $B = 4$

Se løsningsforslag

LøsningsforslagKI-generert

Når $x \to \infty$ , har vi $e^{-kx} \to 0$ , slik at

f(x) \to \frac{A}{1 + 0} = A

Siden asymptoten er $y = 10$ , er $\underline{\underline{A = 10}}$ .

Grafen går gjennom $(0, 2)$ :

f(0) = \frac{10}{1 + B \cdot e^0} = \frac{10}{1 + B} = 2

1 + B = 5 \quad \Rightarrow \quad \underline{\underline{B = 4}}

Vi har $f(x) = \dfrac{10}{1 + 4e^{-kx}}$ . Vi deriverer:

f'(x) = \frac{10 \cdot 4k \cdot e^{-kx}}{(1 + 4e^{-kx})^2}

Vi setter inn $x = 0$ :

f'(0) = \frac{40k \cdot e^0}{(1 + 4)^2} = \frac{40k}{25} = \frac{8k}{5}

Fra figuren leser vi av at tangenten i $(0, 2)$ går gjennom punktet $(10, 10)$ . Tangentens stigningstall er

a = \frac{10 - 2}{10 - 0} = \frac{8}{10} = 0{,}8

Vi setter $f'(0) = 0{,}8$ :

\frac{8k}{5} = \frac{4}{5} \quad \Rightarrow \quad 8k = 4 \quad \Rightarrow \quad \underline{\underline{k = 0{,}5}}

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: logistisk funksjon, modellering
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett