Vi deriverer $f(x)=\ln (x^2+4)$ ved hjelp av kjerneregelen:

Nevneren $x^2+4>0$ for alle $x$, så fortegnet til $f^{\prime }(x)$ bestemmes av telleren $2x$ alene.

• $f^{\prime }(x)>0$ når $x>0\Rightarrow f$ stiger for $x>0$
• $f^{\prime }(x)<0$ når $x<0\Rightarrow f$ synker for $x<0$

Vi drøfter egenskapene til $f$ og sammenligner med grafene.

Symmetri: $f(-x)=\ln ({(-x)}^2+4)=\ln (x^2+4)=f(x)$, så $f$ er en partallsfunksjon (symmetrisk om $y$-aksen). Den riktige grafen må derfor ha bunnpunktet sitt på $y$-aksen (i $x=0$) og være symmetrisk. Det utelukker grafer som er symmetriske om et punkt til side for $y$-aksen.

Bunnpunkt: Fra a) har $f$ et bunnpunkt ved $x=0$. $f(0)=\ln (4)\approx \mathrm{1,39}>0$. Grafen ligger altså over $x$-aksen. Det utelukker graf B (bunnpunkt på $x$-aksen).

Vendepunkter: Vi deriverer $f^{\prime }(x)$ for å finne krumningsendringer:

Nevneren er alltid positiv, så $f^{\prime \prime }(x)=0$ når $8-2x^2=0$, det vil si $x^2=4$, altså $x=\pm 2$.

• $f^{\prime \prime }(x)>0$ for $-2<x<2$: grafen er konveks (smiler)
• $f^{\prime \prime }(x)<0$ for $|x|>2$: grafen er konkav (surmuler)

Grafen har altså vendepunkter ved $x=-2$ og $x=2$, og er konveks i midten og konkav i «halene». Dette utelukker graf D (ren konveks form uten vendepunkter) og graf A (har maksimum, ikke minimum).

Konklusjon: Grafen til $f$ er graf C.