Logaritmefunksjon med drøfting

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = (\ln x)^2 - 2\ln x - 3, \quad D_f = \langle 0, \to \rangle

Bestem nullpunktene til $f$ .

Vis at $f'(x) = \dfrac{2\ln x - 2}{x}$ og bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Disse potensene av $e$ kan komme til nytte når du skal skissere grafen:

$e^{-1} \approx 0{,}4$ , $e^1 \approx 2{,}7$ , $e^2 \approx 7{,}4$ og $e^3 \approx 20{,}1$

Fasit

$x = e^{-1} \approx 0{,}37$ og $x = e^3 \approx 20{,}1$

Bunnpunkt $(e, -4)$

Vendepunkt $(e^2, -3)$

Se løsningsforslag

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $f(x) = 0$ :

(\ln x)^2 - 2\ln x - 3 = 0

Vi substituerer $u = \ln x$ :

u^2 - 2u - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad (u - 3)(u + 1) = 0

u = 3 \quad \text{eller} \quad u = -1

\ln x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = e^3 \approx 20{,}1

\ln x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = e^{-1} \approx 0{,}37

\underline{\underline{x = e^{-1} \approx 0{,}37 \quad \text{og} \quad x = e^3 \approx 20{,}1}}

Vi deriverer med kjerneregelen. La $u = \ln x$ , da er $f = u^2 - 2u - 3$ :

f'(x) = (2\ln x - 2) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln x - 2}{x}

Vi setter $f'(x) = 0$ :

2\ln x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \ln x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = e

Siden $x > 0$ er nevneren alltid positiv, og fortegnet til $f'(x)$ bestemmes av telleren $2\ln x - 2$ :

Funksjonen skifter fra avtagende til voksende, altså har vi et bunnpunkt.

f(e) = (\ln e)^2 - 2\ln e - 3 = 1 - 2 - 3 = -4

\underline{\underline{\text{Bunnpunkt: } (e, -4) \approx (2{,}7{,}\ {-4})}}

Vi deriverer $f'(x) = \dfrac{2\ln x - 2}{x}$ med kvotientregelen:

f''(x) = \frac{\frac{2}{x} \cdot x - (2\ln x - 2) \cdot 1}{x^2} = \frac{2 - 2\ln x + 2}{x^2} = \frac{4 - 2\ln x}{x^2}

Vi setter $f''(x) = 0$ :

4 - 2\ln x = 0 \quad \Rightarrow \quad \ln x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = e^2 \approx 7{,}4

Vi sjekker fortegnsskifte i $f''$ : telleren $4 - 2\ln x$ skifter fra positiv til negativ i $x = e^2$ , altså har vi et vendepunkt.

f(e^2) = (\ln e^2)^2 - 2\ln e^2 - 3 = 4 - 4 - 3 = -3

\underline{\underline{\text{Vendepunkt: } (e^2, -3) \approx (7{,}4{,}\ {-3})}}

Skisse av grafen til f

Viktige punkter i skissen:

Grafen nærmer seg $+\infty$ når $x \to 0^+$ og når $x \to \infty$ .

Oppgavedata

Poeng: 7
Temaer: derivasjon, logaritmer, funksjonsdrøfting
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon