Logaritme- og binomialpåstander

Avgjør om hver av påstandene nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

Påstand:

\text{Når } x > 0 \text{, er } e^{k \cdot \ln(x)}=x^{k}

Påstand:

\text{Når } 1 < a < \dfrac{b}{2} \text{, er } \binom{b}{a+1} > \binom{b}{a}

Fasit

Sann

Usann

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal avgjøre om $e^{k \cdot \ln(x)} = x^k$ for $x > 0$ .

Bevis med logaritmeregler:

Vi bruker logaritmeregelen $k \cdot \ln(x) = \ln(x^k)$ :

e^{k \cdot \ln(x)} = e^{\ln(x^k)} = x^k

Det siste steget bruker at $e^{\ln(u)} = u$ for $u > 0$ .

Alternativt bevis med potensregler:

e^{k \cdot \ln(x)} = \left(e^{\ln(x)}\right)^k = x^k

Her brukes potensregelen $(a^m)^n = a^{mn}$ og $e^{\ln(x)} = x$ .

Påstanden er $\underline{\underline{\text{sann}}}$ .

Vi skal avgjøre om $\binom{b}{a+1} > \binom{b}{a}$ når $1 < a < \dfrac{b}{2}$ .

Analyse av forholdet:

Vi beregner forholdet mellom de to binomialkoeffisientene:

\frac{\binom{b}{a+1}}{\binom{b}{a}} = \frac{\dfrac{b!}{(a+1)!\,(b-a-1)!}}{\dfrac{b!}{a!\,(b-a)!}} = \frac{b!\cdot a!\cdot (b-a)!}{(a+1)!\cdot (b-a-1)!\cdot b!} = \frac{b-a}{a+1}

Påstanden sier at $\binom{b}{a+1} > \binom{b}{a}$ , dvs. at forholdet er strengt større enn 1:

\frac{b-a}{a+1} > 1 \iff b - a > a + 1 \iff b > 2a + 1 \iff a < \frac{b-1}{2}

Så påstanden holder bare når $a < \dfrac{b-1}{2}$ , men betingelsen i oppgaven er den svakere $a < \dfrac{b}{2}$ .

Motbevis:

La $b = 5$ og $a = 2$ . Da er $1 < 2 < \dfrac{5}{2} = 2{,}5$ , så betingelsen er oppfylt.

\binom{5}{3} = 10 \qquad \text{og} \qquad \binom{5}{2} = 10

Her er $\binom{5}{3} = \binom{5}{2}$ , altså ikke strengt større. Påstanden er motbevist.

Påstanden er $\underline{\underline{\text{usann}}}$ .

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: logaritmer, kombinatorikk, argumentasjon
Kompetansemål: Utforske og gjøre rede for egenskapene ved potenser og logaritmer, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse egenskapene
Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk