Logaritme- og binomialpåstander

Avgjør om hver av påstandene nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

For hånd

Påstand:

Når x > 0, er e^{k \cdot \ln (x)} = x^{k}

For hånd

Påstand:

Når 1 < a < \frac{b}{2}, er (\binom{b}{a + 1}) > (\binom{b}{a})

Fasit

Sann

Usann

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal avgjøre om $e^{k \cdot \ln (x)} = x^{k}$ for $x > 0$ .

Bevis med logaritmeregler:

Vi bruker logaritmeregelen $k \cdot \ln (x) = \ln (x^{k})$ :

e^{k \cdot \ln (x)} = e^{\ln (x^{k})} = x^{k}

Det siste steget bruker at $e^{\ln (u)} = u$ for $u > 0$ .

Alternativt bevis med potensregler:

e^{k \cdot \ln (x)} = {(e^{\ln (x)})}^{k} = x^{k}

Her brukes potensregelen ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ og $e^{\ln (x)} = x$ .

Påstanden er $sann$ .

Vi skal avgjøre om $(\binom{b}{a + 1}) > (\binom{b}{a})$ når $1 < a < \frac{b}{2}$ .

Analyse av forholdet:

Vi beregner forholdet mellom de to binomialkoeffisientene:

\frac{(\binom{b}{a + 1})}{(\binom{b}{a})} = \frac{\frac{b!}{(a + 1)! (b - a - 1)!}}{\frac{b!}{a! (b - a)!}} = \frac{b! \cdot a! \cdot (b - a)!}{(a + 1)! \cdot (b - a - 1)! \cdot b!} = \frac{b - a}{a + 1}

Påstanden sier at $(\binom{b}{a + 1}) > (\binom{b}{a})$ , dvs. at forholdet er strengt større enn 1:

\frac{b - a}{a + 1} > 1 ⟺ b - a > a + 1 ⟺ b > 2 a + 1 ⟺ a < \frac{b - 1}{2}

Så påstanden holder bare når $a < \frac{b - 1}{2}$ , men betingelsen i oppgaven er den svakere $a < \frac{b}{2}$ .

Motbevis:

La $b = 5$ og $a = 2$ . Da er $1 < 2 < \frac{5}{2} = 2,5$ , så betingelsen er oppfylt.

(\binom{5}{3}) = 10 og (\binom{5}{2}) = 10

Her er $(\binom{5}{3}) = (\binom{5}{2})$ , altså ikke strengt større. Påstanden er motbevist.

Påstanden er $usann$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidaten må argumentere dersom det skal gis full uttelling. Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten viser relevant argumentasjon, men ikke kommer frem til riktig svar. Kun rett svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2024, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Logaritmer, Kombinatorikk, Argumentasjon
Kompetansemål: Utforske og gjøre rede for egenskapene ved potenser og logaritmer, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse egenskapene
Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk

Logaritme- og binomialpåstander

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Logaritme- og binomialpåstander

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Logaritme- og binomialpåstander

Logaritme- og binomialpåstander

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer