Lineær optimering for sykkelproduksjon
Lov på eksamen
- Kalkulator
- CAS
- Graftegner og regneark
- Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.
Alternativ II
I denne oppgaven kan du bruke programvare som løser optimeringsproblemer.
En bedrift produserer to typer sykler, cross og racer.
| Cross | Racer | |
|---|---|---|
| Fortjeneste i kroner per sykkel | 600 | 500 |
Produksjonen er begrenset av kapasiteten i to avdelinger.
| Cross | Racer | |
|---|---|---|
| Timeforbruk i sveiseavdelingen | 2 timer per sykkel | 4 timer per sykkel |
| Timeforbruk i lakkeringsavdelingen | 3 timer per sykkel | 2 timer per sykkel |
Kapasiteten per måned er 1200 timer i sveiseavdelingen og 1000 timer i lakkeringsavdelingen.
Bedriften regner med at den maksimalt kan selge 160 crossykler og 300 racersykler.
Bedriften ønsker å maksimere fortjenesten.
Forklar at fortjenesten er gitt ved uttrykket , der er antall crossykler og er antall racersykler som selges.
Bruk opplysningene ovenfor til å sette opp de ulikhetene som og må oppfylle.
Bruk programvare eller en annen metode til å bestemme hvilke verdier av og som gjør fortjenesten størst mulig.
Bedriften starter også produksjon av hybridsykler. Fortjenesten ved produksjon av hybridsykler er 700 kroner per sykkel. Timeforbruket i sveiseavdelingen er 4 timer per sykkel. Timeforbruket i lakkeringsavdelingen er 3 timer per sykkel. Bedriften regner med at den maksimalt kan selge 200 hybridsykler. La være antall hybridsykler som produseres og selges.
Bestem hvilke verdier av , og som gjør fortjenesten størst mulig.
Fasit
Fortjenesten er summen av fortjenesten på hver sykkeltype: .
, , ,
, maksimal fortjeneste
, maksimal fortjeneste
LøsningsforslagKI-generert
Fortjenesten per crossykkel er . Selges det crossykler, gir dette en total fortjeneste på kroner. Tilsvarende gir salg av racersykler, med fortjeneste per stykk, en fortjeneste på kroner.
Den totale fortjenesten er summen av fortjenesten fra de to sykkeltypene:
Sveiseavdelingen bruker timer per crossykkel og timer per racersykkel, og kapasiteten er timer per måned:
Lakkeringsavdelingen bruker timer per crossykkel og timer per racersykkel, og kapasiteten er timer per måned:
Bedriften kan selge maksimalt crossykler og racersykler:
I tillegg kan ikke antall sykler være negativt:
Vi tegner opp de fem bibetingelsene fra b) i et koordinatsystem og finner det tillatte området (grønt), som er en firkant med hjørnepunktene , , og .
For et lineært optimeringsproblem vil den optimale løsningen alltid ligge i et hjørnepunkt av det tillatte området. Vi setter derfor inn hjørnepunktene i uttrykket for fortjenesten :
| Hjørnepunkt | $600x + 500y$ |
|---|---|
| $(0,0)$ | $0 \, \mathrm{kr}$ |
| $(160,0)$ | $96\,000 \, \mathrm{kr}$ |
| $(160,220)$ | $206\,000 \, \mathrm{kr}$ |
| $(0,300)$ | $150\,000 \, \mathrm{kr}$ |
Punktet er skjæringspunktet mellom og sveisebegrensningen , og gir størst fortjeneste.
Bedriften bør altså produsere og selge crossykler og racersykler. Dette gir en maksimal fortjeneste på
Fortjenesten er nå gitt ved , med de samme bibetingelsene som i b) utvidet med hybridsykkelen:
Dette er et optimeringsproblem med tre variabler, og løses med programvare på samme måte som i c). Løsningen viser at begge kapasitetsbegrensningene utnyttes fullt ut, samtidig som produksjonen av hybridsykler er på maksimalt nivå, .
Vi kan verifisere dette ved å sette inn i de to kapasitetsbegrensningene og kreve at de er oppfylt med likhet (ressursene brukes fullt ut):
Trekker vi den første likningen fra den andre, får vi , altså . Da er .
Vi kontrollerer at løsningen er tillatt: og , så alle bibetingelsene er oppfylt.
Bedriften bør altså produsere crossykler, racersykler og hybridsykler. Dette gir en maksimal fortjeneste på