Kvadratserie geometrisk rekke

Kvadratserie

Tenk deg at du skal tegne en serie med kvadrater der

sidekantene i det største kvadratet er 10 cm
sidekantene i det neste kvadratet alltid er 10 % kortere enn sidekantene i det forrige du tegnet

Vis at den samlede omkretsen av de tre første kvadratene i serien vil bli 108,4 cm.

Tenk deg at du har veldig mange kvadrater i serien.

Bruk programmering til å lage et program som finner samlet omkrets av alle kvadratene.

Tenk deg at du lager nye serier med kvadrater. Du endrer størrelsen på det største kvadratet i hver serie og lar alltid sidekantene i det neste kvadratet i serien være 10 % kortere enn sidekantene i det forrige du tegnet.

Undersøk og beskriv sammenhengen mellom lengden av sidekantene i det største kvadratet og den samlede omkretsen av alle kvadratene i hver serie.

Ole påstår at $T = \dfrac{4 \cdot s}{p} \cdot 100$ er en formel for å regne ut den samlede omkretsen $T$ av kvadratene i en serie når sidekanten i det største kvadratet er $s$ og sidekantene i det neste kvadratet er $p$ % kortere enn sidekantene i det forrige.

Undersøk om denne sammenhengen kan gjelde.

Fasit

Samlet omkrets $= 40 + 36 + 32{,}4 = \underline{\underline{108{,}4 \, \mathrm{cm}}}$

$\underline{\underline{T = 400 \, \mathrm{cm}}}$

Sammenhengen er lineær: $T = 40 \cdot s$

Oles formel stemmer.

LøsningsforslagKI-generert

Sidekantene i de tre første kvadratene er

s_1 = 10, \quad s_2 = 10 \cdot 0{,}9 = 9, \quad s_3 = 10 \cdot 0{,}9^2 = 8{,}1

Omkretsene er

O_1 = 4 \cdot 10 = 40, \quad O_2 = 4 \cdot 9 = 36, \quad O_3 = 4 \cdot 8{,}1 = 32{,}4

Samlet:

O_1 + O_2 + O_3 = 40 + 36 + 32{,}4 = \mathbf{\underline{\underline{108{,}4 \, \mathrm{cm}}}}

Omkretsene danner en geometrisk rekke med første ledd $a_1 = 40$ og kvotient $k = 0{,}9$ . Siden $|k| < 1$ konvergerer rekken, og summen av uendelig mange ledd er

T = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{40}{1 - 0{,}9} = \frac{40}{0{,}1} = \mathbf{\underline{\underline{400 \, \mathrm{cm}}}}

Program (Python):

s = 10       # sidekant første kvadrat
k = 0.9      # kvotient
total = 0
while s > 0.0001:
    total += 4 * s
    s = s * k
print(total)  # → 400.0

Vi lager nye serier der vi bare endrer størrelsen $s$ på det største kvadratet, men beholder at hvert neste kvadrat er $10 \,\%$ kortere. For en serie med største sidekant $s$ er første omkretsled $a_1 = 4s$ og kvotienten fortsatt $k = 0{,}9$ .

Samlet omkrets:

T = \frac{4s}{1 - 0{,}9} = \frac{4s}{0{,}1} = 40 \cdot s

Sammenhengen er altså lineær: den samlede omkretsen er 40 ganger sidekanten i det største kvadratet.

Sammenheng mellom sidekant og samlet omkrets

Grafen (se T(s) = 40s i utklippet) bekrefter at sammenhengen er en rett linje gjennom origo. For $s = 10$ er $T = 400$ , markert som punkt $A = (10, 400)$ .

For en serie der sidekantene reduseres med $p \,\%$ for hvert ledd, er kvotienten

k = 1 - \frac{p}{100}

Første ledd er $a_1 = 4s$ , og sumformelen gir

T = \frac{4s}{1 - k} = \frac{4s}{1 - \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)} = \frac{4s}{\dfrac{p}{100}} = \frac{4s \cdot 100}{p}

Dette er nøyaktig Oles formel $T = \dfrac{4 \cdot s}{p} \cdot 100$ . Formelen stemmer.

Vi kan sjekke med $s = 10$ og $p = 10$ :

T = \frac{4 \cdot 10}{10} \cdot 100 = 400 \, \mathrm{cm}

Dette stemmer med svaret fra b).

Sensorveiledning

2 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

2 poeng

Et delvis riktig program kan gi 1 poeng.

2 poeng

En kandidat som gjør flere undersøkelser, men ikke klarer å beskrive en riktig sammenheng, kan få 1 poeng.

En kandidat som argumenterer for formelen som er gitt i oppgave d), kan få 1 poeng for dette dersom argumentasjonen knyttes til undersøkelsene som er gjort.

2 poeng

For å få full uttelling, må kandidaten variere både $p$ og $s$ og gjøre flere undersøkelser.

Det er viktig å vurdere helheten i svarene som er gitt i oppgave c) og d).

Oppgavedata

Poeng: 8
Temaer: geometrisk vekst, rekker, programmering
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy