Kubikktall

De fem første kubene

De fem første kubikktallene er $1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, 4^{3}$ og $5^{3}$ , se figuren over. La $S_{n}$ være summen av de $n$ første kubikktallene.

For hånd

Beskriv den rekursive sammenhengen mellom $S_{n}$ og $S_{n + 1}$ . Bestem en eksplisitt formel for $S_{n}$ .

Oppsett for hånd

Lag et program som regner ut $S_{50}$ ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a.

Fasit

$S_{n + 1} = S_{n} + {(n + 1)}^{3}$ og $S_{n} = \frac{1}{4} (n^{4} + 2 n^{3} + n^{2})$

$S_{50} = 1625625$

Løsningsforslag

Jeg setter opp de første leddene og ser om jeg finner en rekursiv sammenheng som jeg kan bruke.

\begin{matrix} S_{1} & = 1^{3} \\ S_{2} & = 1^{3} + 2^{3} = S_{1} + 2^{3} \\ S_{3} & = 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} = S_{2} + 3^{3} \end{matrix}

Jeg ser at hvert ledd er det forrige leddet, pluss det neste kubikktallet. En rekursiv sammenheng mellom summene er altså

S_{n + 1} = S_{n} + {(n + 1)}^{3}

For å bestemme en eksplisitt formel brukte jeg regresjon i GeoGebra.

Regresjonsanalyse i GeoGebra: regnearket inneholder n fra 1 til 9 i kolonne A og summene 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296 og 2025 i kolonne B. Polynomregresjon av fjerde grad gir y = 0,25x⁴ + 0,5x³ + 0,25x², og kurven går gjennom alle punktene.

En eksplisitt formel for summene er

S_{n} = \frac{1}{4} (n^{4} + 2 n^{3} + n^{2})

Alternativ løsning med kalkulator (eksamen 2027)

Den eksplisitte formelen kan finnes uten regresjon, ved å se nærmere på hva summene er:

$n$	1	2	3	4	5
$S_{n}$	1	9	36	100	225
$\sqrt{S_{n}}$	1	3	6	10	15

Alle summene er kvadrattall, og røttene $1, 3, 6, 10, 15$ kjenner vi igjen som trekanttallene $\frac{n (n + 1)}{2}$ . Det gir

S_{n} = {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4} = \frac{1}{4} (n^{4} + 2 n^{3} + n^{2})

som er den samme formelen som regresjonen gav.

Jeg bruker følgende program

S = 0 # starter summen på 0

for n in range(1, 51):
	# kjører løkka 50 ganger
	S = S + n**3 #legger n^3 til S

print(S)

Programmet gir at $S_{50} = 1 625 625$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Riktig rekursiv sammenheng gir 1 poeng og riktig eksplisitt formel gir 1 poeng.

Kandidater som lager et program med den eksplisitte formelen, får ingen uttelling. Program med en god strategi, men feil svar, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2024, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rekursiv sammenheng, Figurtall, Programmering, Rekker, Regresjon
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter
Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Kubikktall

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kubikktall

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kubikktall

Kubikktall

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer