Kostnadsfunksjon og tangent

For en bedrift koster det $K(x)$ kroner å produsere $x$ enheter av en vare per dag.

Enhetskostnaden er

E(x) = \frac{K(x)}{x}

Figuren nedenfor viser grafen til $K$ og tangenten til grafen i punktet $(100, 1200)$ .

Grafen til K og tangenten i (100, 1200)

Bruk figuren nedenfor til å bestemme $K'(100)$ og $E(100)$ .

Vis at den deriverte av enhetskostnaden kan skrives som

E'(x) = \frac{K'(x) - E(x)}{x}

Bestem $E'(100)$ . Hva forteller dette tallet oss?

Fasit

$K'(100) = 5$ og $E(100) = 12$

Vis ved derivasjon av $E(x) = \dfrac{K(x)}{x}$

$E'(100) = -0{,}07$

LøsningsforslagKI-generert

Enhetskostnaden er

E(100) = \frac{K(100)}{100} = \frac{1200}{100} = \underline{\underline{12}}

Grensekostnaden $K'(100)$ er stigningstallet til tangenten i $(100, 1200)$ . Vi leser av figuren at tangenten skjærer $y$ -aksen i omtrent $y = 700$ . Stigningstallet blir

K'(100) = \frac{1200 - 700}{100 - 0} = \underline{\underline{5}}

Vi deriverer $E(x) = \dfrac{K(x)}{x}$ med kvotientregelen:

E'(x) = \frac{K'(x) \cdot x - K(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{K'(x) \cdot x - K(x)}{x^2}

Vi deler teller og nevner med $x$ :

E'(x) = \frac{K'(x) - \dfrac{K(x)}{x}}{x} = \frac{K'(x) - E(x)}{x}

Vi setter inn verdiene fra oppgave a):

E'(100) = \frac{K'(100) - E(100)}{100} = \frac{5 - 12}{100} = \underline{\underline{-0{,}07}}

Dette betyr at enhetskostnaden synker med omtrent $0{,}07$ kr per enhet når produksjonen økes fra 100 enheter. Grensekostnaden ( $K'(100) = 5$ ) er lavere enn enhetskostnaden ( $E(100) = 12$ ), så det lønner seg å produsere flere enheter.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: enhetskostnad, derivasjon, økonomi
Kompetansemål: Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene