Kostnadsfunksjon, grensekostnad og enhetskostnad for fabrikk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En fabrikk produserer en vare. Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom antall produserte enheter $x$ og totalkostnaden $K (x)$ målt i kroner.

$x$	0	100	250	400
$K (x)$	6 000	12 500	29 750	56 000

Kalkulator

Vis at funksjonen $K (x) = 0,2 x^{2} + 45 x + 6000$ passer med dataene i tabellen ovenfor.

Grensekostnaden ved produksjon av $x$ enheter er definert som $K^{'} (x)$ .

Kalkulator

Bestem grensekostnaden når $x = 200$ . Forklar hva grensekostnaden forteller oss.

Enhetskostnaden $G$ ved produksjon av $x$ enheter er definert som $G (x) = \frac{K (x)}{x}$ .

Krever PC

Tegn grafen til $G$ . Bruk denne til å finne hvilken produksjonsmengde som gir den laveste enhetskostnaden.

Det kan vises at vi har den laveste enhetskostnaden når grensekostnaden er lik enhetskostnaden.

Kalkulator

Bruk dette til å kontrollere svaret i c).

Fasit

Stemmer for alle fire verdiene i tabellen.

$K^{'} (200) = 125 kr$

Laveste enhetskostnad ved omtrent $x \approx 173$ enheter.

$x = 100 \sqrt{3} \approx 173,2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn de fire $x$ -verdiene i $K (x) = 0,2 x^{2} + 45 x + 6000$ og sammenlikner med tabellen.

K (0) = 0,2 \cdot 0^{2} + 45 \cdot 0 + 6000 = 6000

K (100) = 0,2 \cdot 100^{2} + 45 \cdot 100 + 6000 = 2000 + 4500 + 6000 = 12 500

K (250) = 0,2 \cdot 250^{2} + 45 \cdot 250 + 6000 = 12 500 + 11 250 + 6000 = 29 750

K (400) = 0,2 \cdot 400^{2} + 45 \cdot 400 + 6000 = 32 000 + 18 000 + 6000 = 56 000

Alle fire verdiene stemmer med tabellen, så $K (x) = 0,2 x^{2} + 45 x + 6000$ passer med dataene.

Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen:

K^{'} (x) = 0,4 x + 45

Ved $x = 200$ :

K^{'} (200) = 0,4 \cdot 200 + 45 = 80 + 45 = 125

$K^{'} (200) = 125 kr$

Grensekostnaden forteller omtrent hvor mye kostnaden øker dersom produksjonen økes med én enhet, fra $200$ til $201$ enheter. Det koster altså omtrent $125 kr$ ekstra å produsere den $201.$ enheten.

Enhetskostnaden er

G (x) = \frac{K (x)}{x} = \frac{0,2 x^{2} + 45 x + 6000}{x} = 0,2 x + 45 + \frac{6000}{x}

Grafen til $G$ er tegnet i GeoGebra:

Graf av enhetskostnaden G(x)

Grafen viser at $G$ har et minimumspunkt omtrent i $(173, 114)$ . Den laveste enhetskostnaden oppnås altså ved en produksjon på omtrent

x \approx 173 enheter

og enhetskostnaden er da omtrent $114 kr$ per enhet.

Vi setter grensekostnaden $K^{'} (x)$ lik enhetskostnaden $G (x)$ og løser likningen:

K^{'} (x) = G (x)

0,4 x + 45 = 0,2 x + 45 + \frac{6000}{x}

0,2 x = \frac{6000}{x}

0,2 x^{2} = 6000

x^{2} = 30 000

x = \sqrt{30 000} = 100 \sqrt{3} \approx 173,2

(Vi forkaster den negative løsningen $x = - 100 \sqrt{3}$ siden $x$ er et antall enheter.) Løsningen av CAS bekrefter dette:

CAS-utregning av likningen K'(x) = G(x)

$x = 100 \sqrt{3} \approx 173,2 enheter$

Dette stemmer godt med den grafiske avlesningen i c), og bekrefter at enhetskostnaden er lavest når det produseres omtrent $173$ enheter.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 E2007-2, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Optimering, Funksjonsdrøfting

Kostnadsfunksjon, grensekostnad og enhetskostnad for fabrikk

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kostnadsfunksjon, grensekostnad og enhetskostnad for fabrikk

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kostnadsfunksjon, grensekostnad og enhetskostnad for fabrikk

Kostnadsfunksjon, grensekostnad og enhetskostnad for fabrikk

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer