Kostnads- og inntektsfunksjoner - graftolkning S2 V26

En bedrift modellerer kostnader og inntekter ved produksjon og salg av $x$ enheter av to ulike varer. Figuren nedenfor viser grafene til kostnads- og inntektsfunksjonene.

Kostnadsfunksjonene er modellert som andregradsfunksjoner, og inntektsfunksjonene er modellert som lineære funksjoner.

Verdiene langs andreaksen er kroner.

Grafer til kostnads- og inntektsfunksjoner for vare 1 og vare 2

Hvilken av varene vil kunne gi størst overskudd? Husk å begrunne svaret. Hvor mange enheter av denne varen må bedriften produsere og selge for å få størst mulig overskudd?

Bestem prisforskjellen mellom vare 1 og vare 2.

Bedriften vil se nærmere på modellene for vare 2. Figuren nedenfor viser grafene til inntektsfunksjonen $I_2$ , kostnadsfunksjonen $K_2$ og tangentene til $K_2$ i punktene $(0, K_2(0))$ og $(40, K_2(40))$ .

Grafer til K_2, I_2 og to tangenter til K_2

Forklar hvordan du kan bruke figuren til å bestemme lavest mulig enhetskostnad, og bestem denne enhetskostnaden.

Bruk figuren til å finne funksjonsuttrykkene $K_2(x)$ og $I_2(x)$ .

Fasit

Vare 2 ved $x=50$

80 kr

100 kr

$K_{2}(x)=x^{2}+20x+1600$ og $I_{2}(x)=120x$

Løsningsforslag

Avstanden mellom inntekts- og kostnadsfunksjonen ( $I(x)-K(x)$ ) er størst for vare 2. Derfor vil denne varen kunne gi det største overskuddet.

Vi har størst overskudd når avstanden mellom $I(x)$ og $K(x)$ er størst mulig og tangentene til begge funksjonene peker i samme retning ( $I'(x)=K'(x)$ ). Fra grafene ser det ut til å være omtrent ved $x=50$ .

Vare 2 gir størst overskudd, og det skjer ved salg og produksjon av 50 enheter.

Inntekten ved salg av 100 enheter for vare 1 er 20 000 kr. Det betyr at hver enhet selges for 200 kr.
Inntekten ved salg av 100 enheter for vare 2 er 12 000 kr. Det betyr at hver enhet selges for 120 kr.

Prisforskjellen mellom varene er 80 kr.

Vi har lavest enhetskostnad når $E(x)=K'(x)$ , og siden tangenten ved $x=40$ går gjennom origo så kan vi være sikre på at $x=40$ gir de laveste enhetskostnadene. Ved $x=40$ så er jo $K'(x)=100$ og $E(x)=\frac{4000}{40}=100$ .

De laveste enhetskostnadene er 100 kr.

Inntektsfunksjonen er lineær. Vi ser at konstantleddet er 0. Stigningstallet kan vi finne ved å bruke $(0,0)$ og $(50, 6000)$ som punkter.

a = \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{6000-0}{50-0}=\frac{6000}{50}=120

Kostnadsfunksjonen er en andregradsfunksjon med generelt uttrykk $ax^{2}+bx+c$ . Vi ser at grafen skjærer $y$ -aksen ved $y=1600$ så $c=1600$ . Den deriverte til $K_{2}(x)$ blir

K_{2}'(x)=2ax + b

Vi vet at $K_{2}'(0)=20$ og $K_{2}'(40)=100$ . Vi kan derfor sette opp to likninger

20 = 2 a \cdot 0 + b \implies b= 20

100 = 2 a \cdot 40 + b \iff 100 = 80a + 20 \implies a =1

Vi setter inn i andregradsuttrykket og får $1x^{2}+20x+1600$ .

$K_{2}(x)=x^{2}+20x+1600$ og $I_{2}(x)=120x$ .

Sensorveiledning

3 poeng

1 poeng for å begrunne hvilken vare og 1 poeng for å finne antall enheter.

Kandidatene må forklare hvordan de har brukt inntektsfunksjonene for å få uttelling.

3 poeng

Kandidaten må svare på begge spørsmålene for å få uttelling.

1 poeng for å finne $K_2$ og 1 poeng for å finne $I_2$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: kostnadsfunksjon, inntektsfunksjon, overskudd, enhetskostnad, tolke grafer
Kompetansemål: Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene