Kostnad, pris og overskudd

En elevbedrift produserer og selger et produkt. Kostnaden $K(x)$ kroner ved produksjon og salg er gitt ved

K(x) = 0{,}02x^2 + 60x + 12000

Elevbedriften selger produktet for 100 kroner per enhet.

Hvor stort er det største overskuddet elevbedriften kan få?

Elevbedriften klarer å forhandle ned de faste kostnadene til 8000 kroner. De produserer og selger nå 1000 enheter.

Hva er den laveste prisen elevbedriften kan selge produktet for, dersom de skal unngå å gå med underskudd?

Fasit

$8\,000 \, \mathrm{kr}$

$88 \, \mathrm{kr}$

Løsningsforslag

Inntekt per enhet er 100 kr. Overskuddet er:

O(x) = 100x - K(x) = 100x - 0{,}02x^2 - 60x - 12\,000 = -0{,}02x^2 + 40x - 12\,000

Vi finner maksimum ved å sette $O'(x) = 0$ og beregner i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS løsning for oppgave 2-4a

CAS bekrefter at $O'(x) = 0$ i $x = 1000$ og at $O(1000) = 8000$ .

Det største overskuddet er $\underline{\underline{8\,000 \, \mathrm{kr}}}$ , oppnådd ved produksjon og salg av 1000 enheter.

Nye faste kostnader er 8000 kr. Ved salg av $x = 1000$ enheter:

K(1000) = 0{,}02 \cdot 1000^2 + 60 \cdot 1000 + 8000 = 20\,000 + 60\,000 + 8000 = 88\,000 \, \mathrm{kr}

For å unngå underskudd må inntektene dekke kostnadene:

1000 \cdot p \geq 88\,000 \implies p \geq 88

Den laveste prisen er $\underline{\underline{88 \, \mathrm{kr}}}$ per enhet.

Sensorveiledning

1 poeng for å finne overskuddsfunksjonen og 1 poeng for å finne overskuddet.

Kandidater som har en god strategi, men ikke kommer fram til svaret kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: økonomi, derivasjon, funksjoner, optimering, overskudd
Kompetansemål: Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer