Kostnad, pris og overskudd

En elevbedrift produserer og selger et produkt. Kostnaden $K (x)$ kroner ved produksjon og salg er gitt ved

K (x) = 0,02 x^{2} + 60 x + 12000

Elevbedriften selger produktet for 100 kroner per enhet.

Kalkulator

Hvor stort er det største overskuddet elevbedriften kan få?

Elevbedriften klarer å forhandle ned de faste kostnadene til 8000 kroner. De produserer og selger nå 1000 enheter.

Kalkulator

Hva er den laveste prisen elevbedriften kan selge produktet for, dersom de skal unngå å gå med underskudd?

Fasit

$8 000 kr$

$88 kr$

Løsningsforslag

Inntekt per enhet er 100 kr. Overskuddet er:

O (x) = 100 x - K (x) = 100 x - 0,02 x^{2} - 60 x - 12 000 = - 0,02 x^{2} + 40 x - 12 000

Vi finner maksimum ved å sette $O^{'} (x) = 0$ og beregner i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS løsning for oppgave 2-4a

CAS bekrefter at $O^{'} (x) = 0$ i $x = 1000$ og at $O (1000) = 8000$ .

Det største overskuddet er $8 000 kr$ , oppnådd ved produksjon og salg av 1000 enheter.

Nye faste kostnader er 8000 kr. Ved salg av $x = 1000$ enheter:

K (1000) = 0,02 \cdot 1000^{2} + 60 \cdot 1000 + 8000 = 20 000 + 60 000 + 8000 = 88 000 kr

For å unngå underskudd må inntektene dekke kostnadene:

1000 \cdot p \geq 88 000 ⟹ p \geq 88

Den laveste prisen er $88 kr$ per enhet.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

1 poeng for å finne overskuddsfunksjonen og 1 poeng for å finne overskuddet.

Kandidater som har en god strategi, men ikke kommer fram til svaret kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2025, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Økonomi, Derivasjon, Funksjoner, Optimering, Overskudd
Kompetansemål: Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer

Innstillinger