Kostnad per enhet og størst overskudd

Kostnadene $K$ per dag ved produksjon av en vare er gitt ved

K (x) = 0,2 x^{2} + 600 x + 8000, 0 < x < 2000

Her er $x$ antall produserte enheter per dag, og $K (x)$ er gitt i kroner.

Bestem den produksjonsmengden som gir lavest kostnad per enhet.

Etterspørselen avhenger av prisen $p$ på varen. Det viser seg at etterspørselen er gitt ved

e (p) = 12 000 - 10 p

Bestem den prisen som vil gi størst daglig overskudd.

Fasit

$x = 200$ enheter

$p = 1100 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Kostnad per enhet (enhetskostnaden) er

E (x) = \frac{K (x)}{x} = 0,2 x + 600 + \frac{8000}{x}

Vi deriverer og setter lik null:

E^{'} (x) = 0,2 - \frac{8000}{x^{2}} = 0

x^{2} = \frac{8000}{0,2} = 40 000 ⟹ x = 200

Siden $E^{''} (x) = \frac{16 000}{x^{3}} > 0$ , er dette et minimumspunkt.

Produksjonsmengden som gir lavest kostnad per enhet er $200 enheter$ .

Antall solgte enheter er $x = e (p) = 12 000 - 10 p$ . Inntekten er

I (p) = p \cdot (12 000 - 10 p) = 12 000 p - 10 p^{2}

Kostnaden uttrykt ved prisen ( $x = 12 000 - 10 p$ ):

K (p) = 0,2 \cdot {(12 000 - 10 p)}^{2} + 600 (12 000 - 10 p) + 8000

Vi utvider:

0,2 \cdot {(12 000 - 10 p)}^{2} = 28 800 000 - 48 000 p + 20 p^{2}

600 (12 000 - 10 p) = 7 200 000 - 6000 p

Overskuddet blir

O (p) = I (p) - K (p) = - 30 p^{2} + 66 000 p - 36 008 000

Vi deriverer og setter lik null:

O^{'} (p) = - 60 p + 66 000 = 0 ⟹ p = 1100 kr

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2022, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Optimering, Grenseinntekt og grensekostnad, Enhetskostnad, Etterspørsel, Økonomi
Kompetansemål: Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene

Innstillinger