Kostnad per enhet og størst overskudd

Kostnadene $K$ per dag ved produksjon av en vare er gitt ved

K(x) = 0{,}2x^2 + 600x + 8000, \quad 0 < x < 2000

Her er $x$ antall produserte enheter per dag, og $K(x)$ er gitt i kroner.

Bestem den produksjonsmengden som gir lavest kostnad per enhet.

Etterspørselen avhenger av prisen $p$ på varen. Det viser seg at etterspørselen er gitt ved

e(p) = 12\,000 - 10p

Bestem den prisen som vil gi størst daglig overskudd.

Fasit

$x = 200$ enheter

$p = 1100 \, \mathrm{kr}$

LøsningsforslagKI-generert

Kostnad per enhet (enhetskostnaden) er

E(x) = \frac{K(x)}{x} = 0{,}2x + 600 + \frac{8000}{x}

Vi deriverer og setter lik null:

E'(x) = 0{,}2 - \frac{8000}{x^2} = 0

x^2 = \frac{8000}{0{,}2} = 40\,000 \implies x = 200

Siden $E''(x) = \frac{16\,000}{x^3} > 0$ , er dette et minimumspunkt.

Produksjonsmengden som gir lavest kostnad per enhet er $\underline{\underline{200 \text{ enheter}}}$ .

Antall solgte enheter er $x = e(p) = 12\,000 - 10p$ . Inntekten er

I(p) = p \cdot (12\,000 - 10p) = 12\,000p - 10p^2

Kostnaden uttrykt ved prisen ( $x = 12\,000 - 10p$ ):

K(p) = 0{,}2 \cdot (12\,000-10p)^2 + 600(12\,000-10p) + 8000

Vi utvider:

0{,}2 \cdot (12\,000-10p)^2 = 28\,800\,000 - 48\,000p + 20p^2

600(12\,000-10p) = 7\,200\,000 - 6000p

Overskuddet blir

O(p) = I(p) - K(p) = -30p^2 + 66\,000p - 36\,008\,000

Vi deriverer og setter lik null:

O'(p) = -60p + 66\,000 = 0 \implies \underline{\underline{p = 1100 \, \mathrm{kr}}}

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: optimering, grenseinntekt og grensekostnad
Kompetansemål: Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene