Kostnad inntekt og overskudd med salgspris p

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer $x$ enheter av en vare. Kostnadene $K$ (i kroner) er gitt ved

K (x) = 0,1 x^{2} - 10 x + 20000

Inntektene $I$ (i kroner) er gitt ved

I (x) = p \cdot x

der $p$ er salgsprisen per enhet for varen.

Vis at overskuddet $O$ er gitt ved

O (x) = - 0,1 x^{2} + (10 + p) x - 20000

Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd dersom $p = 140$ ?

For en bestemt salgspris $p$ er overskuddet størst når bedriften produserer og selger 2000 enheter. Hva er denne salgsprisen $p$ ?

Fasit

Se utregning

$x = 750 enheter$

$p = 390 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Overskuddet er inntekter minus kostnader, $O (x) = I (x) - K (x)$ :

O (x) = p x - (0,1 x^{2} - 10 x + 20000)

O (x) = p x - 0,1 x^{2} + 10 x - 20000

O (x) = - 0,1 x^{2} + (p + 10) x - 20000

Dette er det vi skulle vise.

Med $p = 140$ blir overskuddsfunksjonen

O (x) = - 0,1 x^{2} + 150 x - 20000

Overskuddet er størst der den deriverte er null. Vi deriverer:

O^{'} (x) = - 0,2 x + 150

Setter den deriverte lik null:

- 0,2 x + 150 = 0

0,2 x = 150

x = 750

Siden $O (x)$ er en parabel som vender grenene nedover (koeffisienten foran $x^{2}$ er negativ), er dette et toppunkt, altså det maksimale overskuddet.

x = 750 enheter

Bedriften bør altså produsere og selge $750$ enheter for å få størst overskudd.

Generelt er overskuddsfunksjonen $O (x) = - 0,1 x^{2} + (p + 10) x - 20000$ . Vi deriverer og setter lik null for å finne hvor overskuddet er størst:

O^{'} (x) = - 0,2 x + (p + 10) = 0

x = \frac{p + 10}{0,2} = 5 (p + 10) = 5 p + 50

Vi vet at overskuddet er størst ved $x = 2000$ , så

5 p + 50 = 2000

5 p = 1950

p = 390

p = 390 kr

Salgsprisen per enhet må altså være $390 kr$ for at overskuddet skal være størst ved en produksjon på $2000$ enheter.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2014, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Optimering

Kostnad inntekt og overskudd med salgspris p

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kostnad inntekt og overskudd med salgspris p

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kostnad inntekt og overskudd med salgspris p

Kostnad inntekt og overskudd med salgspris p

Lov på eksamen

Temaer