Kontinuitet av funksjoner med delt forskrift

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved

f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 2, & x < 0 \\ 2 e^{x}, & x \geq 0 \end{matrix}

g (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 2, & x < 0 \\ 1, & x = 0 \\ 2 e^{x}, & x > 0 \end{matrix}

Avgjør om $f$ er kontinuerlig i $x = 0$ .

Avgjør om $g$ er kontinuerlig i $x = 0$ .

Fasit

$f$ er kontinuerlig i $x = 0$ .

$g$ er ikke kontinuerlig i $x = 0$ .

LøsningsforslagKI-generert

En funksjon $h$ er kontinuerlig i $x = a$ hvis og bare hvis

\lim_{x \to a^{-}} h (x) = \lim_{x \to a^{+}} h (x) = h (a)

Vi undersøker dette kravet i $x = 0$ for begge funksjoner.

Vi beregner venstregrenseverdi, funksjonsverdi og høyregrenseverdi for $f$ :

\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} (x^{2} + 2) = 0^{2} + 2 = 2

f (0) = 2 e^{0} = 2 \cdot 1 = 2

(siden $x \geq 0$ gjelder for $x = 0$ )

\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} 2 e^{x} = 2 e^{0} = 2

Alle tre er like: $\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = f (0) = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 2$ .

$f$ er kontinuerlig i $x = 0$ .

Vi beregner venstregrenseverdi, funksjonsverdi og høyregrenseverdi for $g$ :

\lim_{x \to 0^{-}} g (x) = \lim_{x \to 0^{-}} (x^{2} + 2) = 2

g (0) = 1

(spesifisert direkte i definisjonen)

\lim_{x \to 0^{+}} g (x) = \lim_{x \to 0^{+}} 2 e^{x} = 2

Grenseverdiene fra venstre og høyre er begge $2$ , men $g (0) = 1 \neq 2$ .

Kontinuitetskravet er ikke oppfylt.

$g$ er ikke kontinuerlig i $x = 0$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Kandidaten må begrunne svaret for å få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2025, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Kontinuitet, Funksjoner
Kompetansemål: Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av funksjoner som ikke er kontinuerlige

Innstillinger