Kontinuitet av funksjoner med delt forskrift

Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved

f(x) = \begin{cases} x^2 + 2\text{,} \quad & x < 0 \\ 2e^x\text{,} & x \ge 0 \end{cases}

g(x) = \begin{cases} x^2 + 2\text{,} \quad & x < 0 \\ 1\text{,} & x = 0 \\ 2e^x\text{,} & x > 0 \end{cases}

Avgjør om $f$ er kontinuerlig i $x = 0$ .

Avgjør om $g$ er kontinuerlig i $x = 0$ .

Fasit

$f$ er kontinuerlig i $x = 0$ .

$g$ er ikke kontinuerlig i $x = 0$ .

LøsningsforslagKI-generert

En funksjon $h$ er kontinuerlig i $x = a$ hvis og bare hvis

\lim_{x \to a^-} h(x) = \lim_{x \to a^+} h(x) = h(a)

Vi undersøker dette kravet i $x = 0$ for begge funksjoner.

Vi beregner venstregrenseverdi, funksjonsverdi og høyregrenseverdi for $f$ :

\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^2 + 2) = 0^2 + 2 = 2

f(0) = 2e^0 = 2 \cdot 1 = 2

(siden $x \ge 0$ gjelder for $x = 0$ )

\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 2e^x = 2e^0 = 2

Alle tre er like: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 2$ .

$f$ er kontinuerlig i $x = 0$ .

Vi beregner venstregrenseverdi, funksjonsverdi og høyregrenseverdi for $g$ :

\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^2 + 2) = 2

g(0) = 1

(spesifisert direkte i definisjonen)

\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} 2e^x = 2

Grenseverdiene fra venstre og høyre er begge $2$ , men $g(0) = 1 \ne 2$ .

Kontinuitetskravet er ikke oppfylt.

$g$ er ikke kontinuerlig i $x = 0$ .

Sensorveiledning

1 poeng

Kandidaten må begrunne svaret for å få 1 poeng.

1 poeng

Kandidaten må begrunne svaret for å få 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 2
Temaer: kontinuitet, funksjoner
Kompetansemål: Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av funksjoner som ikke er kontinuerlige