Mønster

Vi undersøker forholdet mellom påfølgende ledd:

$$5 = 2 \cdot 2 + 1, \quad 11 = 2 \cdot 5 + 1, \quad 23 = 2 \cdot 11 + 1, \quad 47 = 2 \cdot 23 + 1$$

Mønsteret er at hvert ledd er det dobbelte av det forrige, pluss 1. Skrevet som en rekursiv formel:

$$a_{n+1} = 2 \cdot a_n + 1$$

Det neste leddet etter 47 er:

$$2 \cdot 47 + 1 = \mathbf{\underline{\underline{95}}}$$

Argumentasjon for at alle ledd bortsett fra det første er oddetall

Det andre leddet er $a_2 = 5$, som er et oddetall.

Vi antar at ett ledd $a_n$ er et oddetall. Så ser vi på neste ledd:

$$a_{n+1} = 2 \cdot a_n + 1$$

Siden $a_n$ er et oddetall, er $2 \cdot a_n$ et partall (et partall ganger hva som helst er partall). Et partall pluss 1 er alltid et oddetall. Derfor er $a_{n+1}$ også et oddetall.

Siden $a_2 = 5$ er et oddetall, og hvert ledd gir et oddetall som neste ledd, vil $a_3, a_4, a_5, \ldots$ alle være oddetall.

Alle ledd i tallfølgen bortsett fra det første er oddetall.