Klatrevegg rettavkortet kjegle

Henrik og Hanne arbeider i et byggefirma. Byggefirmaet har fått i oppdrag å lage en klatrevegg til en skolegård. Klatreveggen skal ha form som en rettavkortet kjegle slik at elevene kan klatre opp til en plattform på toppen. Firmaet vurderer å støpe klatreveggen i betong. Se skissen nedenfor.

Klatreveggen

Skolen har to krav når det gjelder utforming av klatreveggen.

Klatreveggen må få plass på et kvadratisk område med areal $20 \mathrm{~m^2}$ .
Plattformen på toppen må ikke være mer enn $2{,}5 \mathrm{~m}$ over bakken, og den skal ha et areal på $10 \mathrm{~m^2}$ .

Hanne og Henrik skal lage et forslag til hvordan klatreveggen kan utformes, og beregne hvor mye betong som vil gå med for å lage den.

Lag en skisse som viser hvordan klatreveggen kan utformes for å oppfylle kravene fra skolen. Sett mål på skissen. Forklar hvordan du har tenkt, og vis utregningene dine.

Hvor mye betong vil gå med for å lage klatreveggen?

Fasit

Grunnradius $R = \sqrt{5} \approx 2{,}24 \, \mathrm{m}$ , toppradius $r = \sqrt{\frac{10}{\pi}} \approx 1{,}78 \, \mathrm{m}$ , høyde $h = 2{,}5 \, \mathrm{m}$

$\underline{\underline{V \approx 31{,}87 \, \mathrm{m^3}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Henrik påpeker at klatreveggen må få plass på et kvadratisk område med areal $20 \, \mathrm{m^2}$ . Arealet av kvadratet er

A_{\text{kvadrat}} = s^2 = 20 \, \mathrm{m^2}

som gir sidelengde $s = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47 \, \mathrm{m}$ .

Den størst mulige sirkelgrunnflaten som passer inni kvadratet er den innskrevne sirkelen med diameter lik kvadratets side. Da er grunnradiusen

R = \frac{s}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} \approx 2{,}24 \, \mathrm{m}

Plattformen på toppen skal ha areal $10 \, \mathrm{m^2}$ , altså

\pi r^2 = 10 \implies r^2 = \frac{10}{\pi} \implies r = \sqrt{\frac{10}{\pi}} \approx 1{,}78 \, \mathrm{m}

For å oppfylle kravet om at plattformen ikke er mer enn $2{,}5 \, \mathrm{m}$ over bakken, setter vi høyden til det maksimale

h = 2{,}5 \, \mathrm{m}

Skisse av klatreveggen (sett fra siden):

        ←2r≈3,56 m→
        ___________
       /           \    ↑
      /             \   | h = 2,5 m
     /               \  ↓
    /_________________\
    ←— 2R ≈ 4,47 m —→

Klatreveggen er en rettavkortet kjegle med $\textcolor{seagreen}{R = \sqrt{5} \approx 2{,}24 \, \mathrm{m}}$ , $\textcolor{steelblue}{r = \sqrt{\frac{10}{\pi}} \approx 1{,}78 \, \mathrm{m}}$ og $h = 2{,}5 \, \mathrm{m}$ .

Hanne foreslår å beregne volumet ved å ta en hel kjegle og trekke fra toppkjeglen som kuttes av.

Siden den rettavkortede kjeglen og den helhetlige kjeglen har samme halvvinkel, er forholdet mellom toppradius og grunnradius det samme som forholdet mellom høydene:

\frac{r}{R} = \frac{H - h}{H}

der $H$ er høyden til den hele kjeglen. Vi løser for $H$ :

\frac{r}{R} = 1 - \frac{h}{H} \implies \frac{h}{H} = 1 - \frac{r}{R} \implies H = \frac{h}{1 - \dfrac{r}{R}}

Vi regner ut forholdet

\frac{r}{R} = \frac{\sqrt{10/\pi}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{10}{5\pi}} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \approx 0{,}798

og den hele kjeglens høyde

H = \frac{2{,}5}{1 - \sqrt{2/\pi}} \approx \frac{2{,}5}{0{,}202} \approx 12{,}37 \, \mathrm{m}

Høyden til toppkjeglen (den som kuttes av) er

H_{\text{topp}} = H - h \approx 12{,}37 - 2{,}5 = 9{,}87 \, \mathrm{m}

Volumet av den hele kjeglen er

V_{\text{hel}} = \frac{\pi}{3} R^2 H = \frac{\pi}{3} \cdot 5 \cdot 12{,}37 \approx 64{,}76 \, \mathrm{m^3}

Volumet av toppkjeglen som fjernes er

V_{\text{topp}} = \frac{\pi}{3} r^2 H_{\text{topp}} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{10}{\pi} \cdot 9{,}87 \approx 32{,}90 \, \mathrm{m^3}

Volumet av klatreveggen (den rettavkortede kjeglen) er

V = V_{\text{hel}} - V_{\text{topp}} \approx 64{,}76 - 32{,}90 \approx 31{,}87 \, \mathrm{m^3}

Man kan også bruke formelen for rettavkortet kjegle direkte:

V = \frac{\pi h}{3}\left(R^2 + Rr + r^2\right) = \frac{\pi \cdot 2{,}5}{3}\left(5 + \sqrt{5} \cdot \sqrt{\frac{10}{\pi}} + \frac{10}{\pi}\right) \approx 31{,}87 \, \mathrm{m^3}

Det vil gå med omtrent $\underline{\underline{31{,}87 \, \mathrm{m^3}}}$ betong for å lage klatreveggen.

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: geometri, areal, volum
Kompetansemål: Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid