Kikhoste som eksponentiell vekst

Tabellen nedenfor viser antall registrerte tilfeller av kikhoste i Norge noen måneder i perioden januar 2023–oktober 2024.

Måned	Jan 2023	Mai 2023	Okt 2023	Feb 2024	Aug 2024	Okt 2024
Antall registrerte tilfeller	29	93	164	284	1035	1657

La $x$ være antall måneder etter desember 2022. Det vil si at $x = 1$ tilsvarer januar 2023, $x = 3$ tilsvarer mars 2023, og så videre.

Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen $K$ gitt ved

K(x) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{x}

er en god modell for antall registrerte tilfeller av kikhoste i Norge i perioden januar 2023–oktober 2024.

Gi en praktisk tolkning av tallet $1{,}2$ i modellen.

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(4,\ K(4))$ og $(21,\ K(21))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

Hvor mange tilfeller av kikhoste vil bli registrert i Norge i mai 2025 ifølge modellen?

Fasit

Modellens verdier er i samme størrelsesorden som de observerte — modellen er god.

Antall registrerte tilfeller øker med $\underline{\underline{20 \,\%}}$ per måned.

$\underline{\underline{\approx 72}}$ tilfeller per måned (gjennomsnittlig vekstfart fra mai 2023 til september 2024).

$\underline{\underline{\approx 5500}}$ tilfeller i mai 2025.

LøsningsforslagKI-generert

GeoGebra-graf med eksponentialfunksjon, datapunkter og sekantlinje

Vi setter inn $x$ -verdiene fra tabellen i modellen $K(x) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{x}$ og sammenligner med de observerte tallene:

Måned	$x$	$K(x)$ (modell)	Observert
Jan 2023	1	$\approx 33$	29
Mai 2023	5	$\approx 69$	93
Okt 2023	10	$\approx 172$	164
Feb 2024	14	$\approx 357$	284
Aug 2024	20	$\approx 1066$	1035
Okt 2024	22	$\approx 1535$	1657

Modellens verdier er i samme størrelsesorden som de observerte verdiene i hele perioden. Noen måneder treffer modellen svært godt (oktober 2023, august 2024), og ingen av avvikene er dramatisk store sett opp mot den sterke veksten. Modellen $K(x) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{x}$ er en god modell for datamaterialet.

Funksjonen $K(x) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{x}$ er en eksponentialfunksjon med vekstfaktor $1{,}2$ .

Vekstfaktoren $1{,}2$ betyr at antallet multipliseres med $1{,}2$ for hver måned som går. Det tilsvarer en økning på $20 \,\%$ per måned.

Praktisk tolkning: Antall registrerte tilfeller av kikhoste i Norge økte med ca. $20 \,\%$ per måned i perioden januar 2023–oktober 2024.

Vi skal finne stigningstallet til den rette linjen gjennom punktene $(4,\ K(4))$ og $(21,\ K(21))$ .

Først beregner vi funksjonsverdiene:

K(4) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{4} \approx 57{,}65

K(21) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{21} \approx 1278{,}94

Deretter bruker vi formelen for stigningstall:

a = \frac{K(21) - K(4)}{21 - 4} = \frac{1278{,}94 - 57{,}65}{17} = \frac{1221{,}29}{17} \approx \mathbf{\underline{\underline{72}}}

Vi kan også lese av sekantlinjens stigningstall i GeoGebra: stign = 71.84 ≈ 72.

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt økte antall registrerte tilfeller av kikhoste med ca. 72 tilfeller per måned i perioden fra mai 2023 ( $x = 4$ ) til september 2024 ( $x = 21$ ).

Mai 2025 tilsvarer $x = 29$ (29 måneder etter desember 2022).

K(29) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{29} \approx \mathbf{\underline{\underline{5499}}} \approx 5500

Ifølge modellen vil ca. 5500 tilfeller av kikhoste bli registrert i Norge i mai 2025.

Sensorveiledning

For å få full uttelling, må kandidaten vise hvordan utrykket framkommer med utgangspunkt i dataverdiene som er gitt.

En kandidat som bruker det gitte uttrykket, tegner grafen, og viser at dataverdiene gir punkt som tilnærmet ligger på denne, kan få 1 poeng.

En kandidat som bruker regresjon, men ikke kommer fram til en eksponentialfunksjon, får ingen uttelling.

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig stigningstall og 1 poeng for en riktig praktisk tolkning av stigningstallet.

For å få uttelling for en praktisk tolkning, må det gå tydelig fram at det er en gjennomsnittlig økning i antall registrerte tilfeller per måned.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: eksponentialfunksjoner, modellering, gjennomsnittlig vekstfart
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing