Kasse uten lokk

Du skal lage en kasse uten lokk. Den skal ha form som et rett prisme. Grunnflaten i kassen skal være kvadratisk. For at vekten ikke skal bli for stor, kan ikke det samlede arealet av platene som brukes til å lage kassen, være mer enn 120 $d m^{2}$ .

Kasse uten lokk

Kalkulator

Hva er det største volumet kassen kan få dersom sidene i bunnen skal være 5 dm?

Kalkulator

Hva er det maksimale volumet kassen kan få?

Du skal lage en slik kasse som rommer 80 $d m^{3}$ .

Kalkulator

Hva er det minste samlede arealet platene kan ha, dersom du skal lage en slik kasse?

Fasit

$V = 118,75 d m^{3}$

$V_{\max} = 40 \sqrt{10} \approx 126,5 d m^{3}$

$A_{\min} = 12 \sqrt[3]{20^{2}} \approx 88,4 d m^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

La $x$ være sidelengden i bunnen (dm) og $h$ være høyden (dm).

Samlet areal (bunn + 4 sider):

A = x^{2} + 4 x h

Volum:

V = x^{2} \cdot h

Setter $x = 5$ og bruker hele arealbudsjettet ( $A = 120$ ):

25 + 4 \cdot 5 \cdot h = 120 ⟹ 20 h = 95 ⟹ h = 4,75 dm

Volumet blir:

V = 5^{2} \cdot 4,75 = 𝟏𝟏𝟖,𝟕𝟓 d m^{3}

For å maksimere volumet bruker vi hele arealbudsjettet ( $A = 120$ ). Løser $A = 120$ for $h$ :

h = \frac{120 - x^{2}}{4 x}

Setter inn i volumformelen:

V (x) = x^{2} \cdot \frac{120 - x^{2}}{4 x} = \frac{x (120 - x^{2})}{4} = 30 x - \frac{x^{3}}{4}

Bruker GeoGebra CAS til å derivere og løse $V^{'} (x) = 0$ :

GeoGebra CAS – optimering av kasse uten lokk

Fra CAS-utklippet (linje 1–6):

V^{'} (x) = 30 - \frac{3}{4} x^{2} = 0 ⟹ x = 2 \sqrt{10} \approx 6,32 dm

h = \sqrt{10} \approx 3,16 dm

V_{\max} = 40 \sqrt{10} \approx 𝟏𝟐𝟔,𝟓 d m^{3}

$V^{'} (x)$ skifter fortegn fra $+$ til $-$ i $x = 2 \sqrt{10}$ , så dette er et maksimum.

Nå er $V = 80 d m^{3}$ . Løser for $h$ :

h = \frac{80}{x^{2}}

Setter inn i arealformelen:

A (x) = x^{2} + 4 x \cdot \frac{80}{x^{2}} = x^{2} + \frac{320}{x}

Bruker GeoGebra CAS til å minimere $A (x)$ (linje 7–12 i utklippet):

A^{'} (x) = 2 x - \frac{320}{x^{2}} = 0 ⟹ 2 x^{3} = 320 ⟹ x = 2 \sqrt[3]{20} \approx 5,43 dm

h = \frac{80}{{(2 \sqrt[3]{20})}^{2}} = \frac{80}{4 \sqrt[3]{400}} = \frac{20}{\sqrt[3]{400}} = \sqrt[3]{\frac{20^{3}}{400}} = \sqrt[3]{20} \approx 2,71 dm

A_{\min} = 12 \sqrt[3]{20^{2}} \approx 𝟖𝟖,𝟒 d m^{2}

$A^{'} (x)$ skifter fortegn fra $-$ til $+$ i $x = 2 \sqrt[3]{20}$ , så dette er et minimum.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Kandidater som finner et uttrykk for høyden, men ikke finne det største volumet, kan få 1 poeng.

En god strategi kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2023, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Delt med: S1, R1
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Optimering, Derivasjon, Geometri
Kompetansemål: Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon

Kasse uten lokk

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kasse uten lokk

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kasse uten lokk

Kasse uten lokk

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer