Kasse uten lokk

Du skal lage en kasse uten lokk. Den skal ha form som et rett prisme. Grunnflaten i kassen skal være kvadratisk. For at vekten ikke skal bli for stor, kan ikke det samlede arealet av platene som brukes til å lage kassen, være mer enn 120 $\mathrm{dm^2}$ .

Kasse uten lokk

Hva er det største volumet kassen kan få dersom sidene i bunnen skal være 5 dm?

Hva er det maksimale volumet kassen kan få?

Du skal lage en slik kasse som rommer 80 $\mathrm{dm^3}$ .

Hva er det minste samlede arealet platene kan ha, dersom du skal lage en slik kasse?

Fasit

$\underline{\underline{V = 118{,}75 \, \mathrm{dm^3}}}$

$\underline{\underline{V_{\max} = 40\sqrt{10} \approx 126{,}5 \, \mathrm{dm^3}}}$

$\underline{\underline{A_{\min} = 12\sqrt[3]{20^2} \approx 88{,}4 \, \mathrm{dm^2}}}$

LøsningsforslagKI-generert

La $x$ være sidelengden i bunnen (dm) og $h$ være høyden (dm).

Samlet areal (bunn + 4 sider):

A = x^2 + 4xh

Volum:

V = x^2 \cdot h

Setter $x = 5$ og bruker hele arealbudsjettet ( $A = 120$ ):

25 + 4 \cdot 5 \cdot h = 120 \implies 20h = 95 \implies h = 4{,}75 \, \mathrm{dm}

Volumet blir:

V = 5^2 \cdot 4{,}75 = \mathbf{\underline{\underline{118{,}75 \, \mathrm{dm^3}}}}

For å maksimere volumet bruker vi hele arealbudsjettet ( $A = 120$ ). Løser $A = 120$ for $h$ :

h = \frac{120 - x^2}{4x}

Setter inn i volumformelen:

V(x) = x^2 \cdot \frac{120 - x^2}{4x} = \frac{x(120 - x^2)}{4} = 30x - \frac{x^3}{4}

Bruker GeoGebra CAS til å derivere og løse $V'(x) = 0$ :

GeoGebra CAS – optimering av kasse uten lokk

Fra CAS-utklippet (linje 1–6):

V'(x) = 30 - \frac{3}{4}x^2 = 0 \implies x = 2\sqrt{10} \approx 6{,}32 \, \mathrm{dm}

h = \sqrt{10} \approx 3{,}16 \, \mathrm{dm}

V_{\max} = 40\sqrt{10} \approx \mathbf{\underline{\underline{126{,}5 \, \mathrm{dm^3}}}}

$V'(x)$ skifter fortegn fra $+$ til $-$ i $x = 2\sqrt{10}$ , så dette er et maksimum.

Nå er $V = 80 \, \mathrm{dm^3}$ . Løser for $h$ :

h = \frac{80}{x^2}

Setter inn i arealformelen:

A(x) = x^2 + 4x \cdot \frac{80}{x^2} = x^2 + \frac{320}{x}

Bruker GeoGebra CAS til å minimere $A(x)$ (linje 7–12 i utklippet):

A'(x) = 2x - \frac{320}{x^2} = 0 \implies 2x^3 = 320 \implies x = 2\sqrt[3]{20} \approx 5{,}43 \, \mathrm{dm}

h = \frac{80}{(2\sqrt[3]{20})^2} = \frac{80}{4\sqrt[3]{400}} = \frac{20}{\sqrt[3]{400}} = \sqrt[3]{\frac{20^3}{400}} = \sqrt[3]{20} \approx 2{,}71 \, \mathrm{dm}

A_{\min} = 12\sqrt[3]{20^2} \approx \mathbf{\underline{\underline{88{,}4 \, \mathrm{dm^2}}}}

$A'(x)$ skifter fortegn fra $-$ til $+$ i $x = 2\sqrt[3]{20}$ , så dette er et minimum.

Sensorveiledning

2 poeng

Kandidater som finner et uttrykk for høyden, men ikke finne det største volumet, kan få 1 poeng.

2 poeng

En god strategi kan gi 1 poeng.

2 poeng

En god strategi kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Poeng: 6
Temaer: optimering, derivasjon, geometri
Kompetansemål: Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon