Isabels sylinderformede bokser

Isabel er industridesigner. Hun arbeider med et design på bokser med form som sylindre.

Sylinder

Isabel lurer på hvor stor radius hun bør velge og hvor høye boksene må være, når hver boks skal ha

Isabel ser at når hun har gitt volum og radius, kan hun regne ut høyden ved å bruke formelen $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$

Lag en oversikt som vist nedenfor. Gjør beregninger og fyll inn verdiene som mangler.

Radius, $r$ (cm)	Høyde, $h$ (cm)	Overflate, $O$ (cm²)	Volum, $V$ (cm³)
2	$35{,}8$	$462{,}6$	450
4			450
6			450
8			450

Isabel ønsker å lage en modell som viser overflaten av ulike bokser hun kan lage ved å endre radius.

Sett opp et funksjonsuttrykk Isabel kan bruke, og lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom radius og overflate.

Hvor stor må radius i boksene være for at overflaten skal bli minst mulig? Hvor stor blir overflaten da?

Fasit

Tabell 1:

Radius, $r$ (cm)	Høyde, $h$ (cm)	Overflate, $O$ (cm²)	Volum, $V$ (cm³)
2	$35{,}8$	$462{,}6$	450
4	$8{,}95$	$275{,}3$	450
6	$3{,}98$	$263{,}1$	450
8	$2{,}24$	$313{,}6$	450

$O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r}$

Radius $r \approx 5{,}23 \, \mathrm{cm}$ gir minst mulig overflate $O \approx 258 \, \mathrm{cm}^2$ .

LøsningsforslagKI-generert

Oppgaven oppgir at $V = 450 \, \mathrm{cm}^3$ og at $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$ . Vi løser for høyden:

h = \frac{V}{\pi \cdot r^2} = \frac{450}{\pi \cdot r^2}

Vi bruker dette til å fylle inn tabellen for hvert valg av $r$ :

$r = 4$ :

h = \frac{450}{\pi \cdot 4^2} = \frac{450}{16\pi} \approx 8{,}95 \, \mathrm{cm}

O = \pi \cdot 4^2 + 2\pi \cdot 4 \cdot 8{,}95 \approx 50{,}3 + 225{,}0 \approx 275{,}3 \, \mathrm{cm}^2

$r = 6$ :

h = \frac{450}{\pi \cdot 6^2} = \frac{450}{36\pi} \approx 3{,}98 \, \mathrm{cm}

O = \pi \cdot 6^2 + 2\pi \cdot 6 \cdot 3{,}98 \approx 113{,}1 + 150{,}0 \approx 263{,}1 \, \mathrm{cm}^2

$r = 8$ :

h = \frac{450}{\pi \cdot 8^2} = \frac{450}{64\pi} \approx 2{,}24 \, \mathrm{cm}

O = \pi \cdot 8^2 + 2\pi \cdot 8 \cdot 2{,}24 \approx 201{,}1 + 112{,}5 \approx 313{,}6 \, \mathrm{cm}^2

Fullstendig tabell:

Radius, $r$ (cm)	Høyde, $h$ (cm)	Overflate, $O$ (cm²)	Volum, $V$ (cm³)
2	$35{,}8$	$462{,}6$	450
4	$8{,}95$	$275{,}3$	450
6	$3{,}98$	$263{,}1$	450
8	$2{,}24$	$313{,}6$	450

Vi setter uttrykket for $h$ inn i formelen for overflaten:

O = \pi r^2 + 2\pi r \cdot h = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{450}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{900}{r}

Funksjonsuttrykket er:

\boxed{O(r) = \pi r^2 + \frac{900}{r}}

Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom radius $r$ og overflaten $O$ . Bunnpunktet A er markert.

Graf av overflaten O(r)

I GeoGebra brukes kommandoene:

O(r) = pi * r^2 + 900/r
Extremum(O, 1, 10)

Fra grafen leser vi av at bunnpunktet er ved $A \approx (5{,}23;\; 258{,}02)$ .

Radius $r \approx 5{,}23 \, \mathrm{cm}$ gir minst mulig overflate $O \approx 258 \, \mathrm{cm}^2$ .

Sensorveiledning

2 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

En kandidat som ikke viser hvordan svarene framkommer, får høyst 1 poeng.

2 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig funksjonsuttrykk og 1 poeng for en riktig grafisk framstilling som kommuniserer godt.

Funksjonsuttrykk og grafiske framstillinger som ikke er riktige, gir ingen uttelling.

2 poeng

I utgangspunktet gis ett poeng for hvert riktig svar som er gjort rede for.

Følgefeil kan gi uttelling, dersom svarene som framkommer er rimelige ut fra situasjonen i oppgaven og tabellen i oppgave a).

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: volum, areal, optimering, funksjoner
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Tolke og bruke formlar som gjeld samfunnsliv og arbeidsliv