En bestemt type insekt kan skade barken på et epletre.

La $X$ være antall skader som slike insekter har påført barken på et tilfeldig valgt epletre. På en bestemt eplegård er sannsynlighetsfordelingen til $X$ gitt i tabellen nedenfor.

$k$	0	1	2	3	4
$P(X=k)$	0,45	0,30	0,10	0,10	0,05

a)

Bestem forventningsverdien $\text{E}(X)$. Hva forteller $\text{E}(X)$ oss i denne situasjonen?

b)

Vis at $\text{Var}(X)=\mathrm{1,4}$.

På eplegården velger vi tilfeldig ut 400 epletrær og nummererer dem fra 1 til 400. Vi lar $X_i$ være antall insektskader på tre nummer $i$. Vi antar at $X_i$-ene er uavhengige.

Det totale antallet insektskader som finnes på de 400 trærne, er da gitt ved den stokastiske variabelen

c)

Begrunn at $S$ er tilnærmet normalfordelt. Bestem $\text{E}(S)$ og $\text{Var}(S)$.

Ved tilsyn på en eplegård blir 50 tilfeldig valgte trær kontrollert. Dersom det i gjennomsnitt er mer enn 1,2 skader per tre, får eplegården pålegg om å sette i verk tiltak.

På en bestemt eplegård er $Y$ det totale antallet insektskader på 50 tilfeldig valgte trær. Egne undersøkelser viser at ${\mu }_Y=50$ og ${\sigma }_Y=8$.

d)

Bestem sannsynligheten for at denne eplegården må sette i verk tiltak dersom de får tilsyn.

Fasit

a)

$\text{E}(X)=1$

b)

Se løsningsforslag

c)

$\text{E}(S)=400$, $\text{Var}(S)=560$

d)

$P\approx \mathrm{0,106}$

LøsningsforslagKI-generert

a)

$$\text{E}(X)=0\cdot \mathrm{0,45}+1\cdot \mathrm{0,30}+2\cdot \mathrm{0,10}+3\cdot \mathrm{0,10}+4\cdot \mathrm{0,05}$$

$$=0+\mathrm{0,30}+\mathrm{0,20}+\mathrm{0,30}+\mathrm{0,20}=\underline{\underline{\mathrm{1,0}}}$$

$\text{E}(X)=1$ betyr at vi i gjennomsnitt forventer én insektskade per epletre.

b)

$$\text{E}(X^2)=0^2\cdot \mathrm{0,45}+1^2\cdot \mathrm{0,30}+2^2\cdot \mathrm{0,10}+3^2\cdot \mathrm{0,10}+4^2\cdot \mathrm{0,05}$$

$$=0+\mathrm{0,30}+\mathrm{0,40}+\mathrm{0,90}+\mathrm{0,80}=\mathrm{2,4}$$

$$\text{Var}(X)=\text{E}(X^2)-{[\text{E}(X)]}^2=\mathrm{2,4}-1^2=\underline{\underline{\mathrm{1,4}}}$$

c)

Ifølge sentralgrensesetningen er $S=X_1+X_2+\cdots +X_{400}$ tilnærmet normalfordelt når $n=400$ er tilstrekkelig stort (og $X_i$-ene er uavhengige og identisk fordelt).

$$\text{E}(S)=400\cdot \text{E}(X)=400\cdot 1=\underline{\underline{400}}$$

$$\text{Var}(S)=400\cdot \text{Var}(X)=400\cdot \mathrm{1,4}=\underline{\underline{560}}$$

d)

Eplegården må sette i verk tiltak dersom gjennomsnittet er mer enn $\mathrm{1,2}$ skader per tre, altså dersom $Y>50\cdot \mathrm{1,2}=60$.

$Y$ er tilnærmet normalfordelt med ${\mu }_Y=50$ og ${\sigma }_Y=8$.

$$z=\frac{60-50}{8}=\mathrm{1,25}$$

$$P(Y>60)=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,25})=1-\mathrm{0,8944}=\underline{\underline{\mathrm{0,106}}}$$

Det er omtrent 10{,}6 % sannsynlighet for at eplegården får pålegg om tiltak.