Inntektsfunksjon med eksponential

En bedrift produserer og selger en vare. Når prisen er $p$ kroner per enhet, er inntekten $I$ kroner per uke gitt ved

I(p) = 1500p \cdot e^{-0.05p}, \quad p \in [10, 80]

Bruk graftegner til å tegne grafen til $I$ .

Bestem den prisen som gir høyest inntekt.

La $x$ være antall solgte enheter av varen en uke.

Vis at $I(x) = 20x \cdot \ln\left(\dfrac{1500}{x}\right)$

Den faste kostnaden for produksjonen er 2000 kroner per uke. I tillegg koster det 15 kroner for hver enhet bedriften produserer.

Bestem det største overskuddet bedriften kan få per uke.

Fasit

Se løsningsforslag

$p = 20 \text{ kr}$

Se løsningsforslag

$\approx 3213 \text{ kr}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner grafen til $I(p) = 1500p \cdot e^{-0{,}05p}$ for $p \in [10, 80]$ i GeoGebra.

Graf: Inntektsfunksjon

Vi finner toppunktet ved å derivere og sette lik null i CAS (se linje 1–2 under).

CAS: Inntektsfunksjon

Fra linje 2 i CAS ser vi at $\underline{\underline{p = 20 \text{ kr}}}$ gir høyest inntekt.

Fra $I(p) = 1500p \cdot e^{-0{,}05p}$ og $x = 1500 \cdot e^{-0{,}05p}$ (antall solgte enheter) får vi

e^{-0{,}05p} = \frac{x}{1500} \implies p = -\frac{1}{0{,}05} \ln\frac{x}{1500} = 20 \ln\frac{1500}{x}

Inntekten uttrykt ved $x$ :

I(x) = x \cdot p = 20x \cdot \ln\left(\frac{1500}{x}\right) \quad \square

Kostnadsfunksjonen er $K(x) = 2000 + 15x$ .

Overskuddet er $O(x) = I(x) - K(x) = 20x \cdot \ln\left(\frac{1500}{x}\right) - 2000 - 15x$ .

Vi definerer overskuddsfunksjonen i CAS og finner maksimum:

CAS: Overskudd

Fra linje 4 leser vi av $x \approx 260{,}7$ og fra linje 5 at det største overskuddet er $\underline{\underline{\approx 3213 \text{ kr}}}$ per uke.

Oppgavedata

Poeng: 8
Temaer: optimering, derivasjon, eksponentialfunksjoner, økonomi
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon