Inntekt, kostnader og salgsprognose S2 V26

En nyoppstartet bedrift produserer og selger en vare. Bedriften regner med at den ukentlige etterspørselen $E$ er gitt ved

E (p) = 2700 - p^{2}, p \in [10, 45]

der $p$ er prisen i kroner per enhet.

Kalkulator

Bestem et uttrykk for inntekten $I (p)$ . Hvilken pris gir høyest inntekt?

Tabellen nedenfor viser noen ukentlige kostnader $K$ ved å produsere $x$ enheter.

Antall enheter	50	100	300	600	1000
Kostnader (kroner)	5775	6600	10400	17600	30000

Krever PC

Bruk opplysningene i tabellen ovenfor til å vise at bedriften må produsere og selge $875$ enheter i uken for at overskuddet skal bli størst mulig.

Bedriften registrerer salget de 8 første ukene.

Uke	1	2	3	4	5	6	7	8
Antall solgte enheter per uke	680	750	790	820	840	855	860	865

Bedriften har som mål å produsere og selge $45 000$ enheter totalt det første året. De antar at salget vil fortsette å følge samme trend som de første 8 ukene.

Krever PC

Vil bedriften klare å nå målet sitt?

Fasit

$I (p) = - p^{3} + 2700 p$ . Pris $p = 30$ kr.

–

Nei. Men en logistisk modell vil gi et samlet salg som er veldig nærme 45 000 enheter.

Løsningsforslag

Løsning på a i CAS

Inntekten er $I (p) = - p^{3} + 2700 p$ og vi får høyest inntekt ved prisen $p = 30$ kr.

Jeg gjør først regresjon på kostnadstallene og finner at en andregradsfunksjon passer fint.

Regresjon på konstandstallene

Siden etterspørselen er $2700 - p^{2}$ må:

x = 2700 - p^{2} ⟹ p = \sqrt{2700 - x}

Inntekten for salg av $x$ enheter blir derfor

I (x) = p \cdot x = \sqrt{2700 - x} \cdot x

Jeg finner ut når overskuddet er størst ved å løse $I^{'} (x) = K^{'} (x)$ i CAS.

Størst overskudd

Bedriften må produsere og selge 875 enheter for at overskuddet skal bli størst mulig.

Jeg gjør først en regresjonsanalyse på salgstallene. Det er vanskelig å vite hva som er riktig modell her. Jeg velger logistisk siden det passer fint med at veksten i salget vil avta.

Regresjon på salgstallene

Jeg bruker følgende modell:

f (x) = \frac{872}{1 + 0,464 e^{- 0,507 x}}

Jeg integrerer fra $x = 0,5$ til $x = 52,5$ for å finne det samlede salget i løpet av de 52 ukene i året.

Samlet salg gjennom året

Hvis utviklingen i salget følger en logistisk modell så vil bedriften ikke klare målet sitt. Samtidig er differansen mellom salget og målet kun 185 enheter eller omtrent 0,4 %.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 7 poeng

1 poeng for å finne inntekten og 1 poeng for å finne prisen.

1 poeng for å finne en kostnadsfunksjon, 1 poeng for riktig strategi, 1 poeng for å finne antall enheter som gir størst overskudd.

1 poeng for å finne en modell for antall solgte enheter per uke og 1 poeng for å finne summen.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2026, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Inntektsfunksjon, Kostnadsfunksjon, Regresjon, Optimering, Logistisk funksjon
Kompetansemål: Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene
Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Inntekt, kostnader og salgsprognose S2 V26

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Inntekt, kostnader og salgsprognose S2 V26

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Inntekt, kostnader og salgsprognose S2 V26

Inntekt, kostnader og salgsprognose S2 V26

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer