Inntekt, kostnader og salgsprognose S2 V26

En nyoppstartet bedrift produserer og selger en vare. Bedriften regner med at den ukentlige etterspørselen $E$ er gitt ved

E(p) = 2700 - p^2, \qquad p \in [10, 45]

der $p$ er prisen i kroner per enhet.

Bestem et uttrykk for inntekten $I(p)$ . Hvilken pris gir høyest inntekt?

Tabellen nedenfor viser noen ukentlige kostnader $K$ ved å produsere $x$ enheter.

Antall enheter	50	100	300	600	1000
Kostnader (kroner)	5775	6600	10400	17600	30000

Bruk opplysningene i tabellen ovenfor til å vise at bedriften må produsere og selge $875$ enheter i uken for at overskuddet skal bli størst mulig.

Bedriften registrerer salget de 8 første ukene.

Uke	1	2	3	4	5	6	7	8
Antall solgte enheter per uke	680	750	790	820	840	855	860	865

Bedriften har som mål å produsere og selge $45\,000$ enheter totalt det første året. De antar at salget vil fortsette å følge samme trend som de første 8 ukene.

Vil bedriften klare å nå målet sitt?

Fasit

$I(p)=-p^{3}+2700p$ . Pris $p=30$ kr.

–

Nei. Men en logistisk modell vil gi et samlet salg som er veldig nærme 45 000 enheter.

Løsningsforslag

Løsning på a i CAS

Inntekten er $I(p)=-p^{3}+2700p$ og vi får høyest inntekt ved prisen $p=30$ kr.

Jeg gjør først regresjon på kostnadstallene og finner at en andregradsfunksjon passer fint.

Regresjon på konstandstallene

Siden etterspørselen er $2700-p^{2}$ må:

x = 2700-p^{2} \implies p = \sqrt{ 2700-x }

Inntekten for salg av $x$ enheter blir derfor

I(x)=p \cdot x = \sqrt{ 2700-x } \cdot x

Jeg finner ut når overskuddet er størst ved å løse $I'(x)=K'(x)$ i CAS.

Størst overskudd

Bedriften må produsere og selge 875 enheter for at overskuddet skal bli størst mulig.

Jeg gjør først en regresjonsanalyse på salgstallene. Det er vanskelig å vite hva som er riktig modell her. Jeg velger logistisk siden det passer fint med at veksten i salget vil avta.

Regresjon på salgstallene

Jeg bruker følgende modell:

f(x)=\frac{872}{1+0{,}464 e ^{-0{,}507x}}

Jeg integrerer fra $x=0{,}5$ til $x=52{,}5$ for å finne det samlede salget i løpet av de 52 ukene i året.

Samlet salg gjennom året

Hvis utviklingen i salget følger en logistisk modell så vil bedriften ikke klare målet sitt. Samtidig er differansen mellom salget og målet kun 185 enheter eller omtrent 0,4 %.

Sensorveiledning

1 poeng for å finne inntekten og 1 poeng for å finne prisen.

1 poeng for å finne en kostnadsfunksjon, 1 poeng for riktig strategi, 1 poeng for å finne antall enheter som gir størst overskudd.

1 poeng for å finne en modell for antall solgte enheter per uke og 1 poeng for å finne summen.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: inntektsfunksjon, kostnadsfunksjon, regresjon, optimering, logistisk funksjon
Kompetansemål: Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene
Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon