Innskrevet rektangel og Lars sitt program

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = -x^2 + 4, \quad 0 \le x \le 2.

Lars har tegnet grafen til $f$ med et innskrevet rektangel $ABCD$ . Lars har også skrevet et program.

Grafen til f(x)

def f(x):
    return -x**2 + 4

def areal(x):
    return x*f(x)

h = 0.0001
def der_areal(x):
    return (areal(x + h) - areal(x))/h

x = 0
dx = 0.01
while der_areal(x + dx) > 0:
    x = x + dx

print(areal(x))

Forklar hva Lars prøver å finne ut med programmet. Hva blir svaret hvis man kjører programmet?

Hvilken strategi bruker Lars i programmet sitt? Vil strategien fungere uavhengig av hvilken funksjon $f$ er?

Fasit

Programmet finner det største arealet av et rektangel innskrevet under grafen. Svaret er ca. $\underline{\underline{3{,}079}}$ .

Lars bruker en numerisk trinnvis tilnærming der han leter fremover til deriverte av arealet skifter fortegn. Strategien er ikke universell.

LøsningsforslagKI-generert

Rektangelet $ABCD$ har ett hjørne på grafen til $f$ . Hjørnet over $x$ -aksen befinner seg i punktet $(x,\, f(x))$ . Siden rektangelet er symmetrisk om $y$ -aksen, har det bredde $2x$ og høyde $f(x)$ .

Av figuren leser vi imidlertid at bare halvparten av rektangelet vises (fra $x = 0$ til $x$ -verdien på grafen), altså bredde $x$ og høyde $f(x)$ . Arealet er:

A(x) = x \cdot f(x) = x(-x^2 + 4) = -x^3 + 4x

Hva programmet gjør:

areal(x) beregner $A(x) = x \cdot f(x)$ .
der_areal(x) beregner den numeriske deriverte $A'(x) \approx \dfrac{A(x+h) - A(x)}{h}$ med $h = 0{,}0001$ .
Løkken starter på $x = 0$ og øker $x$ med $\mathtt{dx} = 0{,}01$ i hvert steg, så lenge den numeriske deriverte i neste steg er positiv (dvs. arealet fortsatt vokser).
Løkken stopper når der_areal(x + dx) <= 0, altså når arealet er i ferd med å avta — ved et (lokalt) maksimum.

Programmet prøver å finne $x$ -verdien som maksimerer arealet, og skriver deretter ut $A(x)$ i dette punktet.

Kjøring: $x$ øker fra $0$ i steg på $0{,}01$ . Den eksakte maksimumsverdien er $x = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx 1{,}1547$ . Programmet stopper siste gang $\mathtt{der\_areal}(x + 0{,}01) > 0$ , noe som gir $x = 1{,}15$ (siden $A'(1{,}16) < 0$ ).

Programmet skriver ut:

A(1{,}15) = 1{,}15 \cdot (-(1{,}15)^2 + 4) = 1{,}15 \cdot 2{,}6775 \approx \underline{\underline{3{,}079}}

(Det eksakte maksimale arealet er $\dfrac{16\sqrt{3}}{9} \approx 3{,}0792$ .)

Strategi: Lars antar at arealet begynner med å vokse fra $x = 0$ , og leter trinnvis fremover til den numeriske deriverte skifter fra positiv til ikke-positiv. Han finner altså det første punktet der $A'(x)$ snur fra positiv til negativ — et lokalt toppunkt.

Strategien er ikke universell. Den kan feile i følgende situasjoner:

Hvis $A'(x)$ allerede er negativ eller lik null for $x = 0$ (arealet avtar fra start), stopper løkken umiddelbart uten å finne noe maksimum.
Hvis $A(x)$ har flere lokale maksimumspunkter, finner programmet bare det første og overser et eventuelt høyere globalt maksimum lenger ut.
Steglengden $\mathtt{dx} = 0{,}01$ gir en numerisk tilnærming, ikke det eksakte maksimumet. Her gir programmet $x = 1{,}15$ istedenfor det eksakte $x = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}1547$ .

Strategien fungerer kun for funksjoner der arealet er positivt, starter med å vokse, og har nøyaktig ett lokalt maksimum.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Poeng: 4
Temaer: derivasjon, programmering, funksjonsdrøfting
Kompetansemål: Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon