Innbyggertall i bygd med eksponentiell regresjon
Lov på eksamen
- Kalkulator
- CAS
- Graftegner og regneark
- Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kan den løses uten PC?
2 av 4 deloppgaver kan løses uten PC.
Fra 2027 er det bare kalkulator og skriftlige hjelpemidler på del 2. Vurderingen er gjort med KI og kan inneholde feil.
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Tabellen nedenfor viser innbyggertallet i en liten bygd i årene fra 2005 til 2010. Hans og Grete vil ut fra tabellen lage en matematisk modell som kan brukes til å anslå innbyggertallet i bygda i årene som kommer. Hans mener de bør velge en lineær modell. Grete er ikke enig.
| 2005 | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Innbyggertall | 650 | 550 | 467 | 396 | 336 | 284 |
| Endring fra året før | ||||||
| Prosentvis endring fra året før |
Hans og Grete vil ut fra tabellen lage en matematisk modell som kan brukes til å anslå innbyggertallet i bygda i årene som kommer. Hans mener de bør velge en lineær modell. Grete er ikke enig.
La være antall år etter 2005, og la være innbyggertallet i bygda.
Tegn av tabellen ovenfor i besvarelsen din. Fyll inn tallene som skal stå i resten av de hvite feltene.
Bruk opplysningene i tabellen. Argumenter for at Hans og Grete ikke bør velge en lineær modell, og foreslå hvilken type modell de bør velge.
Bruk regresjon til å finne den modellen du foreslo i a).
Hva vil innbyggertallet i bygda være i 2020 ifølge modellen du fant i b)?
Hvor lang tid vil det gå før innbyggertallet er under 100 ifølge denne modellen?
Hans lager likevel en lineær modell. Han finner at .
Vurder om denne modellen kan brukes til å beskrive innbyggertallet i bygda i årene fram til 2020.
Fasit
Se utfylt tabell. Endringen er ikke konstant, men den prosentvise endringen er tilnærmet konstant — eksponentiell modell foreslås.
, under innbyggere etter ca. (i løpet av 2016)
— den gir negativt innbyggertall
LøsningsforslagKI-generert
1) Vi regner ut endring fra året før (differansen mellom to påfølgende innbyggertall) og prosentvis endring fra året før ().
| 2005 | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Innbyggertall | 650 | 550 | 467 | 396 | 336 | 284 |
| Endring fra året før | ||||||
| Prosentvis endring fra året før |
2) Den absolutte endringen () minker jevnt fra år til år. En lineær modell krever at endringen fra år til år er konstant, og det er den tydeligvis ikke her — endringen blir stadig mindre i tallverdi.
Den prosentvise endringen () er derimot tilnærmet konstant, rundt hvert år. Når den prosentvise endringen er tilnærmet konstant, passer en eksponentiell modell best, siden en eksponentiell funksjon nettopp har konstant prosentvis vekst (eller nedgang) per tidsenhet.
Vi legger innbyggertallene inn som punkter med antall år etter 2005, og bruker eksponentiell regresjon i GeoGebra.
Skjermbildet viser datapunktene (rødt), regresjonskurven (blått) og Hans’ lineære modell (grønt), sammen med punktet og linja som brukes i c).
1) År 2020 tilsvarer . Vi setter inn i modellen (se punktet på grafen):
Ifølge modellen vil innbyggertallet i 2020 være omtrent .
2) Vi finner slik at . Fra grafen ser vi at kurven krysser linja ved
Det vil altså gå omtrent , det vil si i løpet av 2016, før innbyggertallet ifølge modellen kommer under .
Vi setter (år 2020) inn i Hans’ lineære modell:
Modellen gir et negativt innbyggertall i 2020, noe som er umulig — et innbyggertall kan aldri være mindre enn . Ser vi på grafen (den grønne linja ), krysser den førsteaksen allerede ved , altså rundt 2015. Etter dette gir modellen meningsløse, negative verdier.
. Den eksponentielle modellen fra b) er en mer fornuftig beskrivelse, siden innbyggertallet der alltid forblir positivt.
Sensorveiledning
Oppgaven gir til sammen 9 poeng
For å få full uttelling må eleven forklare hvordan regresjonen er utført.
Ved grafisk løsning skal avlesning markeres tydelig. Dette gjelder også ved bruk av digitale verktøy.