Immunitet og logistisk modell

I en by i Norge ble det i 2021 kartlagt hvor mange som ble immune mot en sykdom.

Tabellen viser hvor stor prosentandel av befolkningen som var immune ved slutten av noen utvalgte måneder i 2021.

$t$	2	4	6	8	10
Prosentandel immune	6	21	41	68	81

Her er $t = 1$ slutten av januar 2021, $t = 2$ slutten av februar 2021 og så videre.

Bruk regresjon til å bestemme en logistisk modell $g$ for situasjonen.

Ved hvilket tidspunkt vil andelen immune passere 85 prosent ifølge modellen?

Vil hele befolkningen noen gang bli immune ifølge modellen? Begrunn svaret.

I en annen by er $N$ gitt ved

N(t) = \frac{2300e^{-0{,}61t}}{(1 + 40e^{-0{,}61t})^2}

en god modell for hvor mye prosentandelen som er immune, økte med per måned, $t$ måneder etter 1. januar 2021. Det vil si at $N(1)$ er prosentandelen nye immune i januar 2021, $N(2)$ er prosentandelen nye immune i februar 2021, og så videre.

Bruk graftegner til å tegne grafen til $N$ .

Bestem $\displaystyle\int_{0{,}5}^{12{,}5} N(t) \, \mathrm{d}t$ . Hva forteller svaret i denne situasjonen?

Fasit

$g(t) \approx \dfrac{90}{1 + 38{,}6 \cdot e^{-0{,}59t}}$

$t \approx 11$ , dvs. slutten av november 2021

Nei, grenseverdien er ca. 90 %

Se graf

$\approx 89{,}4$ prosentpoeng

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker logistisk regresjon på datapunktene $(2, 6)$ , $(4, 21)$ , $(6, 41)$ , $(8, 68)$ , $(10, 81)$ .

Regresjonen gir en logistisk modell:

\underline{\underline{g(t) \approx \frac{90}{1 + 38{,}6 \cdot e^{-0{,}59t}}}}

Vi skal løse $g(t) = 85$ :

\frac{90}{1 + 38{,}6 \cdot e^{-0{,}59t}} = 85

1 + 38{,}6 \cdot e^{-0{,}59t} = \frac{90}{85} \approx 1{,}059

e^{-0{,}59t} = \frac{0{,}059}{38{,}6} \approx 0{,}00153

t = \frac{-\ln(0{,}00153)}{0{,}59} \approx \underline{\underline{11}}

Andelen immune passerer 85 % ved slutten av november 2021.

Grenseverdien til den logistiske modellen er $L \approx 90$ :

\lim_{t \to \infty} g(t) = \frac{90}{1 + 0} = 90

Nei, hele befolkningen vil aldri bli immune ifølge modellen. Andelen nærmer seg 90 %, men når aldri 100 %.

Graf av N(t)

Grafen viser at $N(t)$ starter lavt, stiger til et maksimum rundt $t \approx 6$ (juni), og avtar deretter mot null.

Vi beregner integralet i CAS, se utklipp under.

GeoGebra CAS

\int_{0{,}5}^{12{,}5} N(t) \, \mathrm{d}t \approx \underline{\underline{89{,}4}}

Svaret forteller at den totale prosentandelen av befolkningen som ble immune i løpet av de 12 månedene fra midten av januar til midten av januar (altså hele 2021), var ca. 89,4 prosentpoeng.

Oppgavedata

Poeng: 9
Temaer: logistisk funksjon, regresjon, integral, modellering
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett