Immunitet og logistisk modell

I en by i Norge ble det i 2021 kartlagt hvor mange som ble immune mot en sykdom.

Tabellen viser hvor stor prosentandel av befolkningen som var immune ved slutten av noen utvalgte måneder i 2021.

$t$	2	4	6	8	10
Prosentandel immune	6	21	41	68	81

Her er $t = 1$ slutten av januar 2021, $t = 2$ slutten av februar 2021 og så videre.

Krever PC

Bruk regresjon til å bestemme en logistisk modell $g$ for situasjonen.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Ved hvilket tidspunkt vil andelen immune passere 85 prosent ifølge modellen?

For hånd

Vil hele befolkningen noen gang bli immune ifølge modellen? Begrunn svaret.

I en annen by er $N$ gitt ved

N (t) = \frac{2 300 e^{- 0,61 t}}{{(1 + 40 e^{- 0,61 t})}^{2}}

en god modell for hvor mye prosentandelen som er immune, økte med per måned, $t$ måneder etter 1. januar 2021. Det vil si at $N (1)$ er prosentandelen nye immune i januar 2021, $N (2)$ er prosentandelen nye immune i februar 2021, og så videre.

Krever PC

Bruk graftegner til å tegne grafen til $N$ .

Oppsett for hånd

Bestem $\int_{0,5}^{12,5} N (t) d t$ . Hva forteller svaret i denne situasjonen?

Fasit

$g (t) \approx \frac{90}{1 + 38,6 \cdot e^{- 0,59 t}}$

$t \approx 11$ , dvs. slutten av november 2021

Nei, grenseverdien er ca. 90 %

Se graf

$\approx 89,4$ prosentpoeng

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker logistisk regresjon på datapunktene $(2, 6)$ , $(4, 21)$ , $(6, 41)$ , $(8, 68)$ , $(10, 81)$ .

Regresjonen gir en logistisk modell:

g (t) \approx \frac{90}{1 + 38,6 \cdot e^{- 0,59 t}}

Vi skal løse $g (t) = 85$ :

\frac{90}{1 + 38,6 \cdot e^{- 0,59 t}} = 85

1 + 38,6 \cdot e^{- 0,59 t} = \frac{90}{85} \approx 1,059

e^{- 0,59 t} = \frac{0,059}{38,6} \approx 0,00153

t = \frac{- \ln (0,00153)}{0,59} \approx 11

Andelen immune passerer 85 % ved slutten av november 2021.

Grenseverdien til den logistiske modellen er $L \approx 90$ :

\lim_{t \to \infty} g (t) = \frac{90}{1 + 0} = 90

Nei, hele befolkningen vil aldri bli immune ifølge modellen. Andelen nærmer seg 90 %, men når aldri 100 %.

Graf av N(t)

Grafen viser at $N (t)$ starter lavt, stiger til et maksimum rundt $t \approx 6$ (juni), og avtar deretter mot null.

Vi beregner integralet i CAS, se utklipp under.

GeoGebra CAS

\int_{0,5}^{12,5} N (t) d t \approx 89,4

Svaret forteller at den totale prosentandelen av befolkningen som ble immune i løpet av de 12 månedene fra midten av januar til midten av januar (altså hele 2021), var ca. 89,4 prosentpoeng.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2022, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 9
Temaer: Logistisk funksjon, Regresjon, Integrasjon, Modellering
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett

Immunitet og logistisk modell

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Immunitet og logistisk modell

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Immunitet og logistisk modell

Immunitet og logistisk modell

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer