Hippokrates-månen har samme areal som trekanten AOC

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren nedenfor viser halvsirkelen $A C B$ med sentrum i $O$ og radius $r$ , og halvsirkelen $A E C$ med diameter $A C$ . Hippokrates-månen er det blå området mellom de to buene $A E C$ og $A C$ .

Halvsirkelen ACB med sentrum i O og radius r, og halvsirkelen AEC med diameter AC. Hippokrates-månen og trekanten AOC er farget blå. Vinklene ved A og B er 45 grader

Vis ved regning at Hippokrates-månen har samme areal som $△ A O C$ , det vil si $\frac{r^{2}}{2}$ .

Tips: Vis først at $A C = \sqrt{2} \cdot r$

Fasit

$Arealet av månen er \frac{r^{2}}{2}, det samme som arealet av △ A O C .$

LøsningsforslagKI-generert

Steg 1: Vis at $A C = \sqrt{2} \cdot r$

I trekant $A O C$ er $∠ A O C = 90 °$ (markert i figuren), og $O A = O C = r$ , siden begge er radier i storsirkelen. Med Pytagoras’ setning:

A C = \sqrt{O A^{2} + O C^{2}} = \sqrt{r^{2} + r^{2}} = \sqrt{2 r^{2}} = \sqrt{2} \cdot r

Steg 2: Areal av halvsirkelen $A E C$

Halvsirkelen $A E C$ har diameter $A C = \sqrt{2} \cdot r$ , så radien er $\frac{\sqrt{2} \cdot r}{2}$ :

\begin{matrix} Areal halvsirkel A E C & = \frac{1}{2} \cdot π \cdot {(\frac{\sqrt{2} \cdot r}{2})}^{2} \\ = \frac{1}{2} \cdot π \cdot \frac{2 r^{2}}{4} \\ = \frac{π r^{2}}{4} \end{matrix}

Steg 3: Areal av sirkelsektoren $A O C$ i storsirkelen

Sektoren $A O C$ er en firedel av storsirkelen, siden $∠ A O C = 90 °$ av de $360 °$ i en hel sirkel:

Areal sektor A O C = \frac{90}{360} \cdot π r^{2} = \frac{π r^{2}}{4}

Steg 4: Areal av trekant $A O C$

Trekanten er rettvinklet med de to katetene $O A = O C = r$ :

Areal △ A O C = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r = \frac{r^{2}}{2}

Steg 5: Areal av Hippokrates-månen

Månen er det som er igjen av halvsirkelen $A E C$ når sirkelsegmentet mellom buen $A C$ (i storsirkelen) og korden $A C$ er fjernet. Dette sirkelsegmentet er sektoren $A O C$ minus trekanten $A O C$ :

Sirkelsegment = Areal sektor A O C - Areal △ A O C

Arealet av månen blir da:

\begin{matrix} Areal måne & = Areal halvsirkel A E C - Sirkelsegment \\ = Areal halvsirkel A E C - Areal sektor A O C + Areal △ A O C \\ = \frac{π r^{2}}{4} - \frac{π r^{2}}{4} + \frac{r^{2}}{2} \\ = \frac{r^{2}}{2} \end{matrix}

Leddene med $π r^{2}$ kansellerer hverandre, og igjen står $\frac{r^{2}}{2}$ — nøyaktig det samme som arealet av $△ A O C$ fra steg 4.

$Areal måne = \frac{r^{2}}{2} = Areal △ A O C$

Oppgavedata

Hentet fra: 10. trinn V2013, del 2, oppgave 10
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Geometri, Sirkel, Areal og omkrets, Bevis, Pytagoras

Hippokrates-månen har samme areal som trekanten AOC

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Hippokrates-månen har samme areal som trekanten AOC

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Hippokrates-månen har samme areal som trekanten AOC

Hippokrates-månen har samme areal som trekanten AOC

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer