Hildes terningkast

Hilde kaster en terning med seks sider. La $X$ være antall øyne hun får på terningen.

Bestem forventningsverdien $E(X)$

Hilde regner ut at standardavviket $SD(X)=1{,}7$ . Hun vil kaste terningen flere ganger og summere antall øyne fra hvert kast.

Hvor mange ganger må Hilde kaste terningen før det er omtrent 32 % sannsynlighet for at summen av antall øyne er mer enn 17 unna forventningsverdien for summen?

Fasit

3,5

100

Løsningsforslag

For å finne forventningsverdien lager jeg en tabell og regner ut $\sum_{i=1}^6 x \cdot P(X=x)$

$x$	$P(X=x)$	$x \cdot P(X=x)$
1	$\frac{1}{6}$	$1 \cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{6}$
2	$\frac{1}{6}$	$2\cdot \frac{1}{6}=\frac{2}{6}$
3	$\frac{1}{6}$	$3\cdot \frac{1}{6}=\frac{3}{6}$
4	$\frac{1}{6}$	$4\cdot \frac{1}{6}=\frac{4}{6}$
5	$\frac{1}{6}$	$5\cdot \frac{1}{6}=\frac{5}{6}$
6	$\frac{1}{6}$	$6\cdot \frac{1}{6}=\frac{6}{6}$
Sum	1	$\frac{21}{6}=\frac{7}{2}=3{,}5$

Forventningsverdien er 3,5.

Standardavviket til ett kast er $SD(X)=1{,}7$ .

Vi lar $S$ være summen av $n$ forsøk med $X$ slik at

S=X_{1}+X_{2}+X_{3}+ \dots + X_{n}

Sentralgrensesetningen sier at $S$ vil være tilnærmet normalfordelt med variansen og standardavviket:

\text{Var}(S)=n \cdot \text{Var}(X) \implies SD(S)=\sqrt{ n } \cdot SD(X)

Fra normalfordelingstabellen så kan jeg finne ut at 68 % av arealet under normalfordelingskurven ligger innenfor pluss/minus ett standardavvik fra forventningsverdien. Altså må det være 32 % sannsynlighet for å få observasjon mer enn ett standardavvik fra forventningsverdien.

Siden vi vet at 32 % tilsvarer mer enn ett standardavvik fra forventningsverdien, må 17 øyne være ett standardavvik.

\begin{aligned} SD(S)&=17\\ \sqrt{ n } \cdot SD(X)&=17 \\ \sqrt{ n } \cdot 1{,}7 &= 17\\ \sqrt{ n }&=10\\ n&=100 \end{aligned}

Hilde må kaste terningen 100 ganger før det er omtrent 32 % sannsynlighet for at summen av antall øyne er mer enn 17 unna forventningsverdien for summen.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: forventningsverdi, normalfordeling, standard normalfordeling, utforskning, sentralgrenseteoremet
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler