Halvsirklene ACB og AEC i Hippokrates-figuren

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Hippokrates fra Khios (ca. 470–410 f.Kr.) var trolig den første greske matematikeren som skrev en lærebok i geometri, 100 år før Euklid.

Grekerne forsøkte å konstruere et kvadrat som hadde like stort areal som en sirkel (sirkelens kvadratur).

Hippokrates-månen (i blå farge nedenfor) var en del av dette forsøket.

Kilde: Proclus, Kommentar til Euklid I

Halvsirkelen ACB med sentrum i O og diameter AB, og halvsirkelen AEC med sentrum i D og diameter AC. Hippokrates-månen mellom de to buene er farget blå. AO og OB er begge 5,0 cm, og vinklene ved A og B er 45 grader

$A C B$ er halvsirkelen med sentrum i $O$ og med diameter $A B$ .
$A E C$ er halvsirkelen med sentrum i $D$ og med diameter $A C$ .

Kalkulator

Forklar at $O C = 5,0 c m$ . Vis ved regning at $A C = \sqrt{50} c m$

Kalkulator

Vis at arealet til halvsirkelen $A C B$ er $12,5 π {c m}^{2} \approx 39,25 {c m}^{2}$ (Bruk at $π \approx 3,14$ )

Fasit

$O C = 5,0 cm$ fordi $O$ er sentrum i sirkelen $C$ ligger på. $A C = \sqrt{50} cm$ (vist)

Arealet av halvsirkelen $A C B$ er $12,5 π {cm}^{2} \approx 39,25 {cm}^{2}$ (vist)

LøsningsforslagKI-generert

$O$ er sentrum i den store sirkelen som halvsirkelen $A C B$ er en del av, og $C$ ligger på denne sirkelen (på buen fra $A$ til $B$ ). Da er $O C$ en radius i sirkelen, altså like lang som $O A$ og $O B$ . Siden $O A = O B = 5,0 cm$ , må også

O C = 5,0 cm

For å finne $A C$ bruker vi den rettvinklede trekanten $A O C$ . På figuren ser vi at vinkelen ved $O$ (mellom $O A$ og $O C$ ) er $90 °$ , og at katetene er

A O = 5,0 cm og O C = 5,0 cm

Pytagoras’ setning gir

\begin{matrix} A C^{2} & = A O^{2} + O C^{2} \\ A C^{2} & = {5,0}^{2} + {5,0}^{2} \\ A C^{2} & = 25 + 25 \\ A C^{2} & = 50 \end{matrix}

Vi tar kvadratroten på begge sider:

\sqrt{A C^{2}} = \sqrt{50}

A C = \sqrt{50} cm

Halvsirkelen $A C B$ har diameter $A B$ . Siden $A O = O B = 5,0 cm$ , er

A B = A O + O B = 5,0 + 5,0 = 10,0 cm

og radien i halvsirkelen er

r = \frac{A B}{2} = \frac{10,0}{2} = 5,0 cm

Arealet av en hel sirkel er $π \cdot r^{2}$ , så arealet av halvsirkelen blir halvparten av dette:

\begin{matrix} A & = \frac{1}{2} \cdot π \cdot r^{2} \\ = \frac{1}{2} \cdot π \cdot {5,0}^{2} \\ = \frac{1}{2} \cdot π \cdot 25 \\ = 12,5 π {cm}^{2} \end{matrix}

Vi setter inn $π \approx 3,14$ :

A \approx 12,5 \cdot 3,14 = 39,25 {cm}^{2}

Vi har dermed vist at arealet av halvsirkelen $A C B$ er $12,5 π {cm}^{2} \approx 39,25 {cm}^{2}$ .

Oppgavedata

Hentet fra: 10. trinn V2013, del 2, oppgave 7
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Geometri, Sirkel, Areal og omkrets, Pytagoras, Bevis

Halvsirklene ACB og AEC i Hippokrates-figuren

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Halvsirklene ACB og AEC i Hippokrates-figuren

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Halvsirklene ACB og AEC i Hippokrates-figuren

Halvsirklene ACB og AEC i Hippokrates-figuren

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer