Gule drops i poser

En bedrift produserer drops. 20 % av dropsene er gule, og resten er røde. Dropsene blir tilfeldig fordelt i poser. Det er 100 drops i hver pose.

La $X$ være antall gule drops i en tilfeldig valgt pose.

Vi kan anta at $X$ er en binomisk fordelt variabel.

Vis at $\text{E}(X) = 20$ og $\text{Var}(X) = 16$ .

I resten av oppgaven går vi ut fra at $X$ er tilnærmet normalfordelt.

Bestem sannsynligheten for at det er 25 eller flere gule drops i en tilfeldig valgt pose.

Lag en skisse som viser sannsynlighetsfordelingen til $X$ . Skraver området som illustrerer svaret i oppgave b).

Bestem $a$ slik at $P(20 - a \leq X \leq 20 + a) = 0{,}90$ . Hva forteller intervallet $[20 - a, 20 + a]$ oss i denne situasjonen?

Fasit

$\text{E}(X) = 20$ , $\text{Var}(X) = 16$

$P(X \geq 25) \approx 0{,}1303$

Skisse

$a \approx 6{,}58$

LøsningsforslagKI-generert

$X$ er binomisk fordelt med $n = 100$ og $p = 0{,}20$ .

\text{E}(X) = n \cdot p = 100 \cdot 0{,}20 = \underline{\underline{20}}

\text{Var}(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 100 \cdot 0{,}20 \cdot 0{,}80 = \underline{\underline{16}}

$X$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu = 20$ og $\sigma = \sqrt{16} = 4$ .

Vi bruker halvkorreksjon og finner $P(X \geq 24{,}5)$ :

z = \frac{24{,}5 - 20}{4} = 1{,}125

P(X \geq 25) \approx P(Z \geq 1{,}125) = 1 - \Phi(1{,}125) \approx \underline{\underline{0{,}1303}}

(Den eksakte binomiske sannsynligheten er $0{,}1314$ .)

Vi tegner en normalfordelingskurve med $\mu = 20$ og $\sigma = 4$ . Området til høyre for $x = 24{,}5$ skraveres. Dette området representerer $P(X \geq 25)$ .

Vi skal finne $a$ slik at $P(20 - a \leq X \leq 20 + a) = 0{,}90$ .

Siden $X$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu = 20$ og $\sigma = 4$ , standardiserer vi:

P\left(\frac{-a}{4} \leq Z \leq \frac{a}{4}\right) = 0{,}90

Symmetrien gir:

P\left(Z \leq \frac{a}{4}\right) = 0{,}95

Vi slår opp i normalfordelingstabellen og finner $z_{0{,}95} = 1{,}6449$ .

\frac{a}{4} = 1{,}6449 \implies \underline{\underline{a \approx 6{,}58}}

Intervallet $[20 - 6{,}58, \; 20 + 6{,}58] = [13{,}42, \; 26{,}58]$ forteller oss at det er 90 % sannsynlighet for at en tilfeldig valgt pose inneholder mellom ca. 13 og 27 gule drops.

Oppgavedata

Poeng: 8
Temaer: binomisk, normalfordeling, sannsynlighet
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene