Grenseverdier og eksistens

Bestem grenseverdien dersom den eksisterer:

\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4x + 2}{x^2 - 2x - 8}

\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + ax + 2}{x^2 - 2x - 8}

Fasit

Grenseverdien eksisterer ikke

$a = 3$ , grenseverdi $= \dfrac{1}{6}$

Løsningsforslag

Vi sjekker nevneren i $x = -2$ :

x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2) \implies \text{nevner} = 0 \text{ når } x = -2

Telleren i $x = -2$ :

(-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 2 = 4 + 8 + 2 = 14 \neq 0

Siden nevneren er $0$ og telleren er $\neq 0$ i $x = -2$ , eksisterer ikke grenseverdien.

Del 1 – bestem $a$ :

For at grenseverdien skal eksistere, må telleren også være $0$ i $x = -2$ :

(-2)^2 + a \cdot (-2) + 2 = 0 \implies 6 - 2a = 0 \implies \underline{\underline{a = 3}}

Del 2 – bestem grenseverdien:

Med $a = 3$ faktoriserer vi teller og nevner:

\frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 2x - 8} = \frac{(x+1)(x+2)}{(x-4)(x+2)}

Kansellerer $(x+2)$ (vi ser bort fra $x = -2$ siden vi tar grenseverdi):

\lim_{x \to -2} \frac{(x+1)\cancel{(x+2)}}{(x-4)\cancel{(x+2)}} = \frac{-2+1}{-2-4} = \frac{-1}{-6}

Grenseverdien er $\underline{\underline{\dfrac{1}{6}}}$ .

Sensorveiledning

Kandidaten får uttelling ved å vise at grenseverdien ikke eksisterer eller at grenseverdien er $\pm\infty$ .

1 poeng for å finne $a$ og 1 poeng for å finne grenseverdien.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: grenseverdi, kontinuitet
Kompetansemål: Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier