Grenseverdier med algebraisk forenkling

Bestem grenseverdiene

$\lim_{x\to 3} \dfrac{3(x^2-3)}{x-3}$

$\lim_{x\to 4} \dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}$

Fasit

Grenseverdien eksisterer ikke (venstre- og høyregrense stemmer ikke overens).

Løsningsforslag

Vi ser at nevneren går mot null når $x\to 3$ , mens telleren går mot $3 \cdot (9-3)=3\cdot 6 = 18$ .

La oss se hva som skjer når vi nærmer oss $3$ fra venstre side. Jeg velger $x=2{,}5$ for å få en følelse for tallene.

\frac{3(2{,}5^{2}-3)}{2{,}5-3}=\frac{3(6{,}25-3)}{-0{,}5}=\frac{3 \cdot 3{,}25}{-0{,}5} = -19{,}5

Hvis vi hadde valgt en verdi nærmere $3$ ville fått et enda mer ekstremt negativt svar.

\lim_{ x \to 3^{-} } \frac{3(x^{2}-3)}{x-3}= -\infty

Når vi nærmer oss 3 fra høyre side så får vi (vi velger 3,5)

\frac{3(3{,}5^{2}-3)}{3{,}5-3}=\frac{3(12{,}25-3)}{0{,}5}=\frac{3 \cdot 9{,}25}{0{,}5} \approx 55

Hvis vi hadde valgt et tall nærmere 3 ville vi fått et enda mer ekstremt positivt svar.

\lim_{ x \to 3^{+} } \frac{3(x^{2}-3)}{x-3}= \infty

Grenseverdien eksisterer ikke siden grenseverdiene fra venstre og høyre side ikke stemmer overens.

Sensorveiledning

2 poeng

Kandidaten får full uttelling ved å vise at grenseverdien ikke eksisterer eller at grenseverdien er $\pm\infty$ .

2 poeng

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng. For å få full uttelling ved bruk av L’Hôpitals regel må kandidaten vise til at kravet for å bruke regelen er oppfylt.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Poeng: 4
Temaer: grenseverdi
Kompetansemål: Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier