Grenseverdier med algebraisk forenkling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem grenseverdiene

\lim_{x \to 3} \frac{3 (x^{2} - 3)}{x - 3}

\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}

Fasit

Grenseverdien eksisterer ikke (venstre- og høyregrense stemmer ikke overens).

$\frac{1}{4}$

Løsningsforslag

Vi ser at nevneren går mot null når $x \to 3$ , mens telleren går mot $3 \cdot (9 - 3) = 3 \cdot 6 = 18$ .

La oss se hva som skjer når vi nærmer oss $3$ fra venstre side. Jeg velger $x = 2,5$ for å få en følelse for tallene.

\frac{3 ({2,5}^{2} - 3)}{2,5 - 3} = \frac{3 (6,25 - 3)}{- 0,5} = \frac{3 \cdot 3,25}{- 0,5} = - 19,5

Hvis vi hadde valgt en verdi nærmere $3$ ville fått et enda mer ekstremt negativt svar.

\lim_{x \to 3^{-}} \frac{3 (x^{2} - 3)}{x - 3} = - \infty

Når vi nærmer oss 3 fra høyre side så får vi (vi velger 3,5)

\frac{3 ({3,5}^{2} - 3)}{3,5 - 3} = \frac{3 (12,25 - 3)}{0,5} = \frac{3 \cdot 9,25}{0,5} \approx 55

Hvis vi hadde valgt et tall nærmere 3 ville vi fått et enda mer ekstremt positivt svar.

\lim_{x \to 3^{+}} \frac{3 (x^{2} - 3)}{x - 3} = \infty

Grenseverdien eksisterer ikke siden grenseverdiene fra venstre og høyre side ikke stemmer overens.

Vi ser at både teller og nevner går mot null når $x \to 4$ :

Teller: $\sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0$
Nevner: $4 - 4 = 0$

Siden vi har et ubestemt uttrykk på formen « $\frac{0}{0}$ », kan vi bruke L’Hôpitals regel. Vi deriverer teller og nevner hver for seg:

\begin{matrix} \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} & = \lim_{x \to 4} \frac{{(\sqrt{x} - 2)}^{'}}{{(x - 4)}^{'}} \\ = \lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1} \\ = \frac{1}{2 \sqrt{4}} = \frac{1}{4} \end{matrix}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidaten får full uttelling ved å vise at grenseverdien ikke eksisterer eller at grenseverdien er $\pm \infty$ .

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng. For å få full uttelling ved bruk av L’Hôpitals regel må kandidaten vise til at kravet for å bruke regelen er oppfylt.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2025, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Delt med: S1, R1
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Grenseverdi
Kompetansemål: Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier

Grenseverdier med algebraisk forenkling

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Grenseverdier med algebraisk forenkling

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Grenseverdier med algebraisk forenkling

Grenseverdier med algebraisk forenkling

Lov på eksamen

Temaer