Grensekostnad og enhetskostnad del 1

En bedrift produserer og selger en vare. Kostnaden $K(x)$ i kroner er gitt ved

K(x)=0{,}3x^{2}+10x+3000

Her er $x$ antall enheter produsert og solgt per uke.

For hvilken $x$ -verdi er grensekostnaden lik enhetskostnaden? Gi en praktisk tolkning av svaret.

Bedriften regner med å selge varen for 400 kr per enhet.

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig?

Fasit

100 enheter

650 enheter

Løsningsforslag

Vi kan finne grensekostnaden ved å derivere kostnadsfunksjonen

K'(x)=2 \cdot 0{,}3x+10=0{,}6x+10

Enhetskostnaden er gitt ved

E(x)=\frac{K(x)}{x}=\frac{0{,}3x^{2}+10x+3000}{x}=0{,}3x+10+\frac{3000}{x}

Vi setter disse lik hverandre

\begin{aligned} K'(x)&=E(x)\\ 0{,}6x+10 &= 0{,}3x+10+\frac{3000}{x}\\ 0{,}3x &= \frac{3000}{x}\\ 0{,}3x^{2} &= 3000 \\ x^{2} &= \frac{3000}{0{,}3}\\ x^{2} &= 10\,000\\ x&=100 \end{aligned}

Vi ser bort fra den negative løsningen av likningen siden vi snakker om produksjon av $x$ enheter.

Grensekostnaden er lik enhetskostnaden ved produksjon av 100 enheter. Dette er også den produksjonsmengden som gir de laveste enhetskostnadene.

Inntektene fra salget er gitt ved

I(x)=\text{pris} \cdot x =400x \implies I'(x)=400

Vi har største overskudd når grensekostnaden er lik grenseinntekten

\begin{aligned} K'(x)&=I'(x)\\ 0{,}6x+10&=400\\ 0{,}6x&=390\\ x&=\frac{390}{0{,}6}\\ x&=\frac{3900}{6}\\ x&=650\ \end{aligned}

Bedriften må produsere og selge 650 enheter for at overskuddet skal bli størst mulig.

Sensorveiledning

1 poeng for å finne riktig $x$ -verdi og 1 poeng for å gi en praktisk tolkning av svaret.

Riktig strategi, men feil utregning, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: økonomi, grenseinntekt og grensekostnad, enhetskostnad, derivasjon, overskudd
Kompetansemål: Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene