Grenseinntekt og grensekostnad på del 2

En bedrift produserer og selger $x$ enheter av en vare per uke. Tabellen nedenfor viser kostnaden ved ulike produksjonsmengder.

Produksjon (enheter per uke)	10	20	40	50
Kostnad (kroner)	400	850	2070	2890

En modell for kostnaden $K(x)$ kroner kan skrives på formen

K(x)=a x^2+b x+c

Vis at $K^{\prime}(x)=1,23 x+25$

Inntekten $I(x)$ kroner per uke er gitt ved

I(x)=3000 \cdot \ln (5 x)

Bestem $I^{\prime}(35)$ og $K^{\prime}(35)$ . Gi en praktisk tolkning av svarene.

Bestem $\int_{20}^{30} K^{\prime}(x) d x$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

$I'(35)=85{,}71 \text{ og } K'(35)=68{,}19$

558,5 kr. Dette er differansen mellom produksjonskostnader for 20 enheter og 30 enheter.

Løsningsforslag

Regresjon i GeoGebra

Vi finner en andregradsmodell for kostnadene ved hjelp av regresjon i GeoGebra. Se utklippet over.

K(x)=0{,}617 x^{2}+25x+93{,}33

Grenseinntekten $K'(x)=2 \cdot 0{,}617x+25=\underline{\underline{1{,}23x+25}}$ .

Grenseinntekt og grensekostnad i GeoGebra

Se linje 3 og 4 i CAS.

\underline{\underline{I'(35)=85{,}71 \text{ og } K'(35)=68{,}19 }}

Her øker grenseinntekten mer enn grensekostnaden, altså vil vi tjene mer penger ( $85{,}71 \text{ kr}$ ) på å produsere en mer enhet, enn hva vi må betale i produksjonskostnader for å produsere en mer enhet ( $68{,}19 \text{ kr}$ ). Vi tjener altså omtrent $85{,}71-68{,}19=17{,}5$ kr på å produsere og selge 36 enheter framfor 35 enheter.

Se linje 5 i CAS.

\underline{\underline{\int_{20}^{30} K'(x) \, dx =558{,}5}}

Dette er det bestemte integralet av grensekostnaden $K'(x)$ , altså vil svaret vårt tilsvare

\int_{20}^{30} K'(x) \, dx = K(30)-K(20)

558,5 kr er altså differansen i produksjonskostnader mellom å produsere 20 enheter og 30 enheter.

Sensorveiledning

Riktig regresjon for å finne $K(x)$ kan gi 1 poeng.

1 poeng for å finne verdiene, 1 poeng for tolkningene.

1 poeng for å finne verdien og 1 poeng for praktisk tolkning.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: regresjon, tolkning av integraler, samlet mengde, grenseinntekt og grensekostnad, derivasjon
Kompetansemål: Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner
Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene