Vi bruker sammenhengen mellom en funksjon og dens deriverte til å identifisere grafene.

Steg 1 – Gjenkjenn $f$ (graf (i))

Graf (i) er en S-formet kurve som er monotont stigende for alle $x$. Den har et vendepunkt i origo og ingen lokale ekstrema. Dette er den typiske formen til en kubikkfunksjon uten lokale topp- eller bunnpunkter, for eksempel $f(x)=x^3$.

$\underline{\underline{\text{Graf (i) er }f.}}$

Steg 2 – Gjenkjenn $f^{\prime }$ (graf (iii))

Siden $f$ er monotont stigende for alle $x$, må $f^{\prime }(x)\ge 0$ for alle $x$. Graf (iii) er en oppovervendt parabel som tangerer $x$-aksen i origo og ellers er positiv. Dette stemmer med at:

• $f^{\prime }$ har ett nullpunkt, nemlig i $x=0$. Dette svarer til vendepunktet til $f$ (i origo), der stigningen til $f$ er minst (men ikke negativ).
• $f^{\prime }(x)\ge 0$ for alle $x$, siden $f$ aldri er synkende.

En parabel som tangerer $x$-aksen i origo er nettopp $f^{\prime }(x)=3x^2$ (for $f(x)=x^3$).

$\underline{\underline{\text{Graf (iii) er }{f}^{\prime }.}}$

Steg 3 – Gjenkjenn $f^{\prime \prime }$ (graf (ii))

Den gjenværende grafen er (ii), og vi verifiserer at dette gir mening:

• $f^{\prime \prime }$ er den deriverte av $f^{\prime }$. Siden $f^{\prime }$ er en parabel (andregradsfunksjon), er $f^{\prime \prime }$ en lineær funksjon (førstegradsfunksjon).
• $f^{\prime \prime }$ har ett nullpunkt (der $f^{\prime }$ har sitt bunnpunkt, altså i $x=0$), og $f^{\prime \prime }$ skifter fortegn der: $f^{\prime \prime }(x)<0$ for $x<0$ og $f^{\prime \prime }(x)>0$ for $x>0$. Dette samsvarer med at $f$ er konkav for $x<0$ og konveks for $x>0$, med vendepunkt i $x=0$.
• Graf (ii) er en kurve med bunnpunkt til venstre for $y$-aksen og nullpunkter på begge sider, noe som er konsistent med en lineær $f^{\prime \prime }$ som passerer gjennom origo med positivt stigningstall (for eksempel $f^{\prime \prime }(x)=6x$).

$\underline{\underline{\text{Graf (ii) er }{f}^{\prime \prime }.}}$

Oppsummering

Graf	Funksjon	Begrunnelse
(i)	$f$	S-formet kubikk, monotont stigende, vendepunkt i origo
(iii)	$f^{\prime }$	Parabel, $f^{\prime }(x)\ge 0$ for alle $x$, tangerer $x$-aksen i vendepunktet til $f$
(ii)	$f^{\prime \prime }$	Lineær, skifter fortegn i $x=0$ (vendepunktet til $f$, bunnpunktet til $f^{\prime }$)