Geometrisk rekke og uendelig sum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rekke er gitt ved

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^{n - 1}}

Forklar at dette er en geometrisk rekke. Bestem et uttrykk for summen $S_{n}$ av rekken.

Bestem summen av den uendelige rekken $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$

Fasit

$S_{n} = 2 (1 - \frac{1}{2^{n}})$

$S = 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi sjekker kvotienten mellom påfølgende ledd:

k = \frac{a_{i}}{a_{i - 1}} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}

Kvotienten er konstant, så rekken er geometrisk med første ledd $a_{1} = 1$ og kvotient $k = \frac{1}{2}$ .

Sumformelen for en geometrisk rekke er

S_{n} = a_{1} \cdot \frac{1 - k^{n}}{1 - k}

Vi setter inn $a_{1} = 1$ og $k = \frac{1}{2}$ :

S_{n} = 1 \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{n}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{2^{n}}}{\frac{1}{2}} = 2 (1 - \frac{1}{2^{n}})

Siden $| k | = \frac{1}{2} < 1$ konvergerer den uendelige rekken. Summen er

S = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2015, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Rekker

Innstillinger