Geometrisk rekke og sum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem et uttrykk for summen $a + \frac{a}{2} + \frac{a}{2^{2}} + \dots + \frac{a}{2^{n - 1}}$

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved $a + \frac{a}{2} + \frac{a}{2^{2}} + \frac{a}{2^{3}} + \dots$

Begrunn hvorfor rekken konvergerer.

Bestem $a$ slik at summen av rekken blir 10.

Fasit

$S_{n} = 2 a (1 - {(\frac{1}{2})}^{n})$

Rekken konvergerer fordi $| k | = \frac{1}{2} < 1$

$a = 5$

LøsningsforslagKI-generert

Rekken $a + \frac{a}{2} + \frac{a}{2^{2}} + \dots + \frac{a}{2^{n - 1}}$ er en geometrisk rekke med første ledd $a_{1} = a$ , kvotient $k = \frac{1}{2}$ og $n$ ledd.

Vi bruker formelen for summen av en endelig geometrisk rekke:

S_{n} = a_{1} \cdot \frac{1 - k^{n}}{1 - k}

S_{n} = a \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{n}}{1 - \frac{1}{2}} = a \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{n}}{\frac{1}{2}} = 2 a (1 - {(\frac{1}{2})}^{n})

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når $| k | < 1$ .

Her er $k = \frac{1}{2}$ , og siden $| \frac{1}{2} | = \frac{1}{2} < 1$ konvergerer rekken.

Summen av en konvergerende uendelig geometrisk rekke er:

S = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{a}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{a}{\frac{1}{2}} = 2 a

Vi setter $S = 10$ :

2 a = 10 ⟹ a = 5

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2014, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Rekker

Geometrisk rekke og sum

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Geometrisk rekke og sum

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Geometrisk rekke og sum

Geometrisk rekke og sum

Lov på eksamen

Temaer