Geometrisk rekke av trekantarealer og omkretser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En likesidet $\triangle ABC$ har areal lik $T$ . Midtpunktene på sidene i $\triangle ABC$ er hjørnene i en ny likesidet $\triangle DEF$ med areal lik $T_1$ . Midtpunktene på sidene i $\triangle CDE$ er hjørnene i en ny likesidet $\triangle GHI$ med areal lik $T_2$ . Etter samme metode lager vi trekanter med areal $T_3$ , $T_4$ , og så videre. Denne prosessen tenker vi oss fortsetter i det uendelige. Se skissen nedenfor.

Nestede likebeinte trekanter

Forklar at rekken av arealer $T_1 + T_2 + T_3 + \ldots$ kan skrives som

\frac{T}{4} + \frac{T}{16} + \frac{T}{64} + \ldots

Vis ved regning eller ved å studere figuren at summen av rekken er lik $\dfrac{T}{3}$ .

Omkretsen av $\triangle ABC$ er lik 3. Trekanten som har areal lik $T_n$ , har omkrets lik $O_n$ .

Forklar at rekken av omkretser $O_1 + O_2 + O_3 + \ldots$ kan skrives som

\frac{3}{2} + \frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \ldots

Bestem summen til rekken.

Fasit

Kvotient $k = \dfrac{1}{4}$ , rekken er $\dfrac{T}{4} + \dfrac{T}{16} + \dfrac{T}{64} + \ldots$

$\underline{\underline{S = \dfrac{T}{3}}}$

$\underline{\underline{S = 3}}$

LøsningsforslagKI-generert

Når vi kobler midtpunktene på sidene i en likesidet trekant, deler vi trekanten i fire kongruente, likebeinte trekanter som er geometrisk like den opprinnelige. Hver av dem har areal $\dfrac{T}{4}$ . Trekanten $\triangle DEF$ er én av disse fire, så

T_1 = \frac{T}{4}

Samme argument gjelder for hver nye trekant: $\triangle GHI$ er $\dfrac{1}{4}$ av $\triangle DEF$ , altså

T_2 = \frac{T_1}{4} = \frac{T}{4^2} = \frac{T}{16}

Generelt er

T_n = \frac{T}{4^n}

Rekken av arealer blir dermed

T_1 + T_2 + T_3 + \ldots = \frac{T}{4} + \frac{T}{16} + \frac{T}{64} + \ldots

Dette er en uendelig geometrisk rekke med første ledd $a_1 = \dfrac{T}{4}$ og kvotient $k = \dfrac{1}{4}$ .

Siden $|k| = \dfrac{1}{4} < 1$ konvergerer rekken, og vi kan bruke sumformelen for en uendelig geometrisk rekke:

S = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{\dfrac{T}{4}}{1 - \dfrac{1}{4}} = \frac{\dfrac{T}{4}}{\dfrac{3}{4}} = \frac{T}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{T}{3}

GeoGebra CAS bekrefter:

GeoGebra CAS: geometrisk rekke av trekantarealer og omkretser

Summen av rekken av arealer er $\underline{\underline{S = \dfrac{T}{3}}}$ .

Siden $\triangle ABC$ er likesidet med omkrests $O_0 = 3$ , har den sidelengde $1$ . Sidelengdene i midtpunktstrekanten er halvparten av sidelengdene i den ytre trekanten (midtpunktsetningen), så

O_1 = \frac{3}{2}, \quad O_2 = \frac{3}{4}, \quad O_3 = \frac{3}{8}, \quad \ldots

Generelt er $O_n = \dfrac{3}{2^n}$ , og rekken blir

O_1 + O_2 + O_3 + \ldots = \frac{3}{2} + \frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \ldots

Dette er en uendelig geometrisk rekke med første ledd $a_1 = \dfrac{3}{2}$ og kvotient $k = \dfrac{1}{2}$ .

Siden $|k| = \dfrac{1}{2} < 1$ konvergerer rekken:

S = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{\dfrac{3}{2}}{1 - \dfrac{1}{2}} = \frac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}} = 3

Summen av rekken av omkretser er $\underline{\underline{S = 3}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Geometri, Rekker

Geometrisk rekke av trekantarealer og omkretser

Sync på tvers av enheter

Geometrisk rekke av trekantarealer og omkretser

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave