Vi deriverer $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$:

Vi setter $f^{\prime }(x)=0$:

Vi lager en fortegnslinje for $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x-3)$:

Siden $f^{\prime }$ skifter fortegn fra $+$ til $-$ i $x=1$, er det et toppunkt der. Siden $f^{\prime }$ skifter fra $-$ til $+$ i $x=3$, er det et bunnpunkt der.

Vi beregner funksjonsverdiene:

Toppunkt i $\underline{\underline{(1,5)}}$ og bunnpunkt i $\underline{\underline{(3,1)}}$.

Vi deriverer $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9$ én gang til:

Vi setter $f^{\prime \prime }(x)=0$:

For $x<2$ er $f^{\prime \prime }(x)<0$ (konkav), og for $x>2$ er $f^{\prime \prime }(x)>0$ (konveks). Siden $f^{\prime \prime }$ skifter fortegn i $x=2$, er dette et vendepunkt.

Vendepunkt i $\underline{\underline{(2,3)}}$.

Fra a) og b) vet vi:

• $f$ stiger for $x<1$, synker for $1<x<3$, stiger for $x>3$
• Toppunkt $(1,5)$, vendepunkt $(2,3)$, bunnpunkt $(3,1)$
• Grafen er konkav (krummer nedover) for $x<2$ og konveks (krummer oppover) for $x>2$

Noen tilleggsverdier for å forankre skissen:

En skisse av grafen:

Grafen skjærer $y$-aksen i $(\mathrm{0,1})$, har toppunkt i $(\mathrm{1,5})$, vendepunkt i $(\mathrm{2,3})$, bunnpunkt i $(\mathrm{3,1})$, og stiger deretter mot høyre.