Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
En funksjon f er gitt ved
f(x)=x3−6x2+9x,Df=Ra)
Bestem ved regning nullpunktene til f.
b)
Bestem ved regning eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f.
c)
Bestem ved regning vendepunktet på grafen til f.
d)
Lag en skisse av grafen til f.
Fasit
a)
x=0 og x=3 (dobbelt nullpunkt)
b)
Toppunkt (1,4), bunnpunkt (3,0)
c)
Vendepunkt (2,2)
d)
Se skisse i løsningsforslaget
LøsningsforslagKI-generert
a)
Vi faktoriserer f(x) ved å trekke ut x:
f(x)=x3−6x2+9x=x(x2−6x+9)=x(x−3)2
Nullpunktene er der f(x)=0:
x(x−3)2=0x=0ellerx=3
f har nullpunkter i x=0 og x=3 (der x=3 er et dobbelt nullpunkt).
b)
Vi deriverer f(x):
f′(x)=3x2−12x+9=3(x2−4x+3)=3(x−1)(x−3)
Topp- og bunnpunkter finnes der f′(x)=0:
3(x−1)(x−3)=0⟹x=1ellerx=3
Vi bruker andrederiverte for å avgjøre om punktene er topp eller bunn:
f′′(x)=6x−12
For x=1: f′′(1)=6⋅1−12=−6<0⟹toppunkt
f(1)=1−6+9=4⟹Toppunkt i (1,4)
For x=3: f′′(3)=6⋅3−12=6>0⟹bunnpunkt
f(3)=27−54+27=0⟹Bunnpunkt i (3,0)
f vokser for x<1, avtar for 1<x<3, og vokser igjen for x>3.
c)
Vendepunktet finnes der f′′(x)=0 og f′′ skifter fortegn:
f′′(x)=6x−12=0⟹x=2
f′′(x)<0 for x<2 og f′′(x)>0 for x>2, så f′′ skifter fortegn i x=2.
f(2)=8−24+18=2
Vendepunktet er (2,2).
d)
Basert på beregningene over har grafen følgende kjennetegn:
Nullpunkter i x=0 og x=3 (tangerer x-aksen i x=3)
Toppunkt i (1,4)
Bunnpunkt i (3,0)
Vendepunkt i (2,2)
f(0)=0 (skjærer y-aksen i origo)
Grafen starter lavt fra venstre, stiger til toppunktet (1,4), synker ned til bunnpunktet (3,0), og stiger deretter ubegrenset. Vendepunktet (2,2) er midtpunktet mellom topp og bunn (som forventet for en tredjegradsfunksjon).