Forkorting av brøk med polynomdivisjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Forklar hvordan vi kan avgjøre om brøken nedenfor kan forkortes, uten å utføre forkortingen.

\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 3 x}{x - 3}

Forkort brøken.

Fasit

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 3 x}{x - 3} = x^{2} + x = x (x + 1)$

LøsningsforslagKI-generert

Kan brøken forkortes?

En brøk $\frac{P (x)}{Q (x)}$ kan forkortes hvis $Q (x)$ er en faktor i $P (x)$ , det vil si hvis telleren er lik null for nevnerens nullpunkt.

Nevneren $x - 3$ har nullpunkt $x = 3$ . Vi setter inn i telleren:

x^{3} - 2 x^{2} - 3 x |_{x = 3} = 27 - 18 - 9 = 0

Siden telleren er null for $x = 3$ , er $(x - 3)$ en faktor i telleren, og brøken kan forkortes.

Polynomdivisjon:

\begin{matrix} (x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 0 & ) : (x - 3) = x^{2} + x \\ x^{3} - 3 x^{2} + 0 x + 0 \\ 1 x^{2} - 3 x + 0 \\ 1 x^{2} - 3 x + 0 \\ 0 \end{matrix}

Trinn for trinn:

$x^{3} \div x = x^{2}$ , så $x^{2} \cdot (x - 3) = x^{3} - 3 x^{2}$
Rest: $(x^{3} - 2 x^{2}) - (x^{3} - 3 x^{2}) = x^{2}$ , ta ned $- 3 x$ : $x^{2} - 3 x$
$x^{2} \div x = x$ , så $x \cdot (x - 3) = x^{2} - 3 x$
Rest: $(x^{2} - 3 x) - (x^{2} - 3 x) = 0$

Divisjonen går opp uten rest, og vi får:

\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 3 x}{x - 3} = x^{2} + x = 𝐱 (𝐱 + 𝟏)

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2014, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Rasjonale funksjoner

Innstillinger