Forholdet mellom halvsirkler og kvadrater hos Hippokrates

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren nedenfor viser halvsirkelen $A C B$ med sentrum i $O$ og diameter $A B$ , og halvsirkelen $A E C$ med diameter $A C$ , sammen med kvadratene $A F B C$ og $A G H B$ . Her er $A O = O B = 5,0 c m$ , $A C = \sqrt{50} c m$ , og arealet av halvsirkelen $A C B$ er $12,5 π {c m}^{2}$ .

Halvsirklene ACB og AEC sammen med kvadratene AFBC og AGHB. AO og OB er begge 5,0 cm

Hippokrates fant at

\frac{Areal av halvsirkel A E C}{Areal av halvsirkel A C B} = \frac{Areal av kvadrat A F B C}{Areal av kvadrat A G H B}

Med figurer vil dette se slik ut:

Halvsirkelen AEC delt på halvsirkelen ACB er lik kvadratet AFBC delt på kvadratet AGHB

Kalkulator

Vis at arealet av halvsirkelen $A E C$ er $6,25 π {c m}^{2} \approx 19,625 {c m}^{2}$ (Bruk at $π \approx 3,14$ )

Kalkulator

Bruk blant annet opplysningene ovenfor og i oppgave a), og vis ved regning at

\frac{Areal av halvsirkel A E C}{Areal av halvsirkel A C B} = \frac{Areal av kvadrat A F B C}{Areal av kvadrat A G H B}

Fasit

$6,25 π \approx 19,625 {c m}^{2}$

Begge forholdene er $0,5$ — se utregning.

LøsningsforslagKI-generert

Halvsirkelen $A E C$ har diameter $A C = \sqrt{50} c m$ , så radien er:

r_{A E C} = \frac{A C}{2} = \frac{\sqrt{50}}{2} c m

Arealet av en halvsirkel er $\frac{1}{2} π r^{2}$ :

\begin{matrix} Areal & = \frac{1}{2} \cdot π \cdot {(\frac{\sqrt{50}}{2})}^{2} \\ = \frac{1}{2} \cdot π \cdot \frac{50}{4} \\ = \frac{1}{2} \cdot π \cdot 12,5 \\ = 6,25 π \end{matrix}

Med $π \approx 3,14$ :

6,25 \cdot 3,14 = 19,625 {c m}^{2}

$Areal av halvsirkel A E C = 6,25 π \approx 19,625 {c m}^{2}$

Vi finner arealet av de to kvadratene.

Kvadratet $A F B C$ har side $A C = \sqrt{50} c m$ :

Areal A F B C = A C^{2} = {(\sqrt{50})}^{2} = 50 {c m}^{2}

Kvadratet $A G H B$ har side $A B = 10,0 c m$ :

Areal A G H B = A B^{2} = {10,0}^{2} = 100 {c m}^{2}

Forholdet mellom kvadratarealene er:

\frac{Areal A F B C}{Areal A G H B} = \frac{50}{100} = 0,5

Fra oppgave a) vet vi at arealet av halvsirkelen $A E C$ er $6,25 π {c m}^{2}$ . Arealet av halvsirkelen $A C B$ er oppgitt til $12,5 π {c m}^{2}$ . Forholdet mellom halvsirkelarealene er:

\frac{Areal halvsirkel A E C}{Areal halvsirkel A C B} = \frac{6,25 π}{12,5 π} = 0,5

Begge forholdene er lik $0,5$ , så vi har vist at:

\frac{Areal av halvsirkel A E C}{Areal av halvsirkel A C B} = \frac{Areal av kvadrat A F B C}{Areal av kvadrat A G H B}

$Begge forhold er lik 0,5, så sammenhengen stemmer.$

Oppgavedata

Hentet fra: 10. trinn V2013, del 2, oppgave 9
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Geometri, Sirkel, Areal og omkrets, Bevis

Forholdet mellom halvsirkler og kvadrater hos Hippokrates

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Forholdet mellom halvsirkler og kvadrater hos Hippokrates

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Forholdet mellom halvsirkler og kvadrater hos Hippokrates

Forholdet mellom halvsirkler og kvadrater hos Hippokrates

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer