Fond og geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et fond på 50 millioner kroner ble opprettet 1. januar 2015. Hensikten er å dele ut et fast beløp til gode formål den 31.12. hvert år.

Styret for fondet gikk først ut fra at den årlige avkastningen ville bli 10,0 %.

Kalkulator

Hvor mye penger kan maksimalt deles ut hvert år dersom fondet aldri skal gå tomt?

Kalkulator

Når vil fondet være tomt for penger dersom det deles ut 8 millioner kroner hvert år?

Fasit

5 000 000 kr per år

Fondet er tomt i løpet av 2025 (etter 10 hele utbetalinger)

LøsningsforslagKI-generert

Fondet må aldri gå tomt, så kapitalen etter utdeling må være minst like stor som kapitalen før utdeling. Det betyr at utdelingen maksimalt kan tilsvare avkastningen.

x_{\max} = 10 % \cdot 50 000 000 = 0,10 \cdot 50 000 000 = 5 000 000 kr

Alternativt via uendelig geometrisk rekke:

Nåverdien av alle fremtidige utbetalinger $x$ kan skrives som en uendelig geometrisk rekke. Første utbetaling skjer 31.12.2015, altså om 1 år:

S = \frac{x}{1,1} + \frac{x}{{1,1}^{2}} + \frac{x}{{1,1}^{3}} + \dots = \frac{\frac{x}{1,1}}{1 - \frac{1}{1,1}} = \frac{x}{0,1}

For at fondet aldri skal gå tomt, må nåverdien av alle utbetalinger være lik fondets verdi:

\frac{x}{0,1} = 50 000 000 ⟹ x = 5 000 000 kr

Maksimalt beløp per år er 5 millioner kroner.

La $n$ være antall år etter opprettelsen (første utbetaling etter år 1). Fondets verdi etter $n$ utbetalinger er:

F_{n} = 50 \cdot {1,1}^{n} - 8 \cdot (1 + 1,1 + {1,1}^{2} + \dots + {1,1}^{n - 1})

Summen av den geometriske rekken er $\frac{{1,1}^{n} - 1}{1,1 - 1} = \frac{{1,1}^{n} - 1}{0,1} = 10 \cdot ({1,1}^{n} - 1)$ , så:

F_{n} = 50 \cdot {1,1}^{n} - 8 \cdot 10 \cdot ({1,1}^{n} - 1) = 50 \cdot {1,1}^{n} - 80 \cdot ({1,1}^{n} - 1)

F_{n} = 50 \cdot {1,1}^{n} - 80 \cdot {1,1}^{n} + 80 = 80 - 30 \cdot {1,1}^{n}

Vi setter $F_{n} = 0$ :

80 - 30 \cdot {1,1}^{n} = 0 ⟹ {1,1}^{n} = \frac{80}{30} = \frac{8}{3}

n = \frac{\ln (\frac{8}{3})}{\ln (1,1)} \approx \frac{0,9808}{0,09531} \approx 10,29

Siden $n \approx 10,29$ er fondet tomt mellom år 10 og år 11. Fondet kan dele ut 8 millioner kroner i 10 hele år (utbetalingene skjer 31.12.2015 t.o.m. 31.12.2024). Det 11. året er kapitalen for liten til full utdeling, og fondet er tomt i løpet av 2025.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2015, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometrisk rekke, Rente, Rekker

Fond og geometrisk rekke

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Fond og geometrisk rekke

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Fond og geometrisk rekke

Fond og geometrisk rekke

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer