Fiskelengde og potensfunksjonsmodell

deloppgave: b poeng: 1

Fiskelengde og potensfunksjonsmodell

Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom lengde og vekt for en type fisk.

Lengde (cm)	50	70	80	100	120	130
Vekt (gram)	1190	3320	5070	9610	16 080	21 590

Sammenhengen kan beskrives med en modell gitt på formen

F(x) = a \cdot x^b

der $F(x)$ gram er vekten til en fisk som er $x$ centimeter lang.

Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme tallene $a$ og $b$ . Tegn grafen til $F$ .

Hvor lang er en fisk som veier $11{,}5 \mathrm{~kg}$ ifølge modellen?

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(75,\ F(75))$ og $(95,\ F(95))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Hvor mange prosent vil vekten av en fisk øke med dersom lengden øker med $20\ \%$ ifølge modellen?

Fasit

$a \approx 0{,}00966$ , $b \approx 3{,}00$

$\approx 106 \, \mathrm{cm}$

$\approx 210 \, \mathrm{g/cm}$

$\approx 72{,}8 \, \%$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker potensregresjon for å finne $a$ og $b$ i $F(x) = a \cdot x^b$ .

Regresjon i GeoGebra gir:

\underline{\underline{a \approx 0{,}00966 \quad \text{og} \quad b \approx 3{,}00}}

Modellen er dermed tilnærmet

F(x) \approx 0{,}00966 \cdot x^3

Graf for F(x)

Vi løser likningen $F(x) = 11\,500$ :

0{,}00966 \cdot x^3 = 11\,500

GeoGebra CAS løsning for oppgave 2-1b

Ifølge modellen er en fisk som veier $11{,}5 \, \mathrm{kg}$ omtrent $\underline{\underline{106 \, \mathrm{cm}}}$ lang.

Vi beregner $F(75)$ og $F(95)$ :

F(75) = 0{,}00966 \cdot 75^3 \approx 4075 \, \mathrm{g}

F(95) = 0{,}00966 \cdot 95^3 \approx 8282 \, \mathrm{g}

Stigningstallet til linjen gjennom $(75,\ F(75))$ og $(95,\ F(95))$ :

a = \frac{F(95) - F(75)}{95 - 75} = \frac{8282 - 4075}{20} \approx 210

Stigningstallet er $\underline{\underline{\approx 210 \, \mathrm{g/cm}}}$ .

Dette betyr at for fisk med lengde mellom 75 og 95 cm vil vekten øke med cirka 210 gram for hver ekstra centimeter.

Dersom lengden øker med 20 %, blir den nye lengden $1{,}2 \cdot x$ . Da blir den nye vekten:

F(1{,}2x) = 0{,}00966 \cdot (1{,}2x)^3 = 0{,}00966 \cdot 1{,}2^3 \cdot x^3 = 1{,}2^3 \cdot F(x)

1{,}2^3 = 1{,}728

Prosentvis økning: $(1{,}728 - 1) \cdot 100 \, \% = 72{,}8 \, \%$

Vekten vil øke med $\underline{\underline{72{,}8 \, \%}}$ dersom lengden øker med 20 %.

Sensorveiledning

2,3 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for en riktig modell og 1 poeng for en grafisk framstilling som kommuniserer godt. Det skal gå tydelig fram at tallene langs $x$ -aksen er lengde i centimeter og at tallene langs $y$ -aksen er vekt i gram. En kandidat som lager en grafisk framstilling som oppfyller disse kravene i oppgave b), c) eller d), får også uttelling for dette i oppgave a). En kandidat som ikke bruker en potensfunksjon, kan få uttelling for den grafiske framstillingen.

2,3 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig stigningstall og 1 poeng for en riktig praktisk tolkning av stigningstallet. For å få uttelling for en praktisk tolkning, må det gå tydelig fram at det er en gjennomsnittlig økning i vekt per centimeter.

2,3 poeng

En kandidat som bare gjør beregninger for én lengde, får høyst 1 poeng. For å få full uttelling, må kandidaten vise eller argumentere for at sammenhengen gjelder generelt, eller gjøre beregninger for minst to ulike lengder.

Oppgavedata

Poeng: 7
Temaer: potensfunksjon, regresjon, stigningstall
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane