Vi plotter punktene $A(-3,-4)$, $B(3,-4)$, $C(1,2)$ og $D(-3,2)$ i et koordinatsystem og tegner firkanten $ABCD$, se figuren.

Vi sammenligner koordinatene til hjørnene:

• $A$ og $B$ har samme $y$-koordinat ($y=-4$), så $AB$ er en vannrett side med lengde $3-(-3)=6$.
• $D$ og $C$ har samme $y$-koordinat ($y=2$), så $DC$ er også en vannrett side, med lengde $1-(-3)=4$.
• $A$ og $D$ har samme $x$-koordinat ($x=-3$), så $AD$ er en loddrett side, med lengde $2-(-4)=6$.

$AB$ og $DC$ er altså parallelle (begge vannrette), mens $AD$ står vinkelrett på begge (loddrett). Firkanten $ABCD$ har dermed to parallelle sider av ulik lengde og to rette vinkler, i $A$ og $D$.

$\underline{\underline{ABCD\text{ er et rettvinklet trapes.}}}$

Stigningstallet til linjen gjennom $B(3,-4)$ og $C(1,2)$ er

Linjen har da likningen $y=-3x+b$. Vi setter inn koordinatene til $B(3,-4)$ for å finne $b$:

Likningen for linjen gjennom $B$ og $C$ er dermed

Vi tegner denne linjen sammen med linjen $y={\displaystyle \frac{1}{3}}x-5$ i samme koordinatsystem, se figuren. At $y=\frac{1}{3}x-5$ går gjennom $B$, ser vi ved å sette inn $x=3$: $y=\frac{1}{3}\cdot 3-5=1-5=-4$, som stemmer med $B(3,-4)$.

I den gule boksen står det at to lineære funksjoner står vinkelrett på hverandre når produktet av stigningstallene er $-1$. Linjen gjennom $B$ og $C$ har stigningstall $-3$ (fra b)), og linjen $y=\frac{1}{3}x-5$ har stigningstall $\frac{1}{3}$. Produktet av stigningstallene er

så de to linjene står vinkelrett på hverandre. Siden linjen $y=\frac{1}{3}x-5$ går gjennom $B$, betyr dette at $\angle EBC=90°$ for ethvert punkt $E$ på denne linjen (forskjellig fra $B$).

Skal trekanten $BEC$ være rettvinklet og likebeint, må de to katetene i den rette vinkelen være like lange, altså $BE=BC$.

Vi finner lengden $BC$ med Pytagoras’ setning, ved å bruke differansen i $x$- og $y$-koordinat mellom $B(3,-4)$ og $C(1,2)$:

Punktet $E$ skal altså ligge på linjen $y=\frac{1}{3}x-5$, i avstand $BC\approx \mathrm{6,32}$ fra $B$. Flytter vi oss $3$ til høyre og $1$ opp langs linjen (stigningstall $\frac{1}{3}$), flytter vi oss $\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$. Siden $BC=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$, må vi ta akkurat to slike steg, altså flytte oss $(6,2)$ fra $B$ — enten i positiv eller negativ retning langs linjen:

eller

Begge punktene ligger på linjen $y=\frac{1}{3}x-5$ og gir $BE=BC$, så begge er gyldige svar for $E$ (se figuren over).

$\underline{\underline{E=(9,-2)\text{ eller }E=(-3,-6)}}$