En normalfordelingskurve har toppen (maksimumet) ved $x=\mu$ og bredden bestemmes av $\sigma$: større $\sigma$ gir en lavere og bredere kurve, mens mindre $\sigma$ gir en høyere og smalere kurve.

Vi leser av grafene:

• Graf (1): Toppen er ved $x=10$ og kurven er smal og høy $\Rightarrow$ $\mu =10$, liten $\sigma$. Dette er $X_4$ med $\text{E}(X_4)=10$ og $\text{SD}(X_4)=1$.
• Graf (2): Toppen er ved $x=10$ og kurven er bred og lav $\Rightarrow$ $\mu =10$, stor $\sigma$. Dette er $X_3$ med $\text{E}(X_3)=10$ og $\text{SD}(X_3)=3$.
• Graf (3): Toppen er ved $x=5$ og kurven er bred og lav $\Rightarrow$ $\mu =5$, stor $\sigma$. Dette er $X_2$ med $\text{E}(X_2)=5$ og $\text{SD}(X_2)=3$.
• Graf (4): Toppen er ved $x=5$ og kurven er smal og høy $\Rightarrow$ $\mu =5$, liten $\sigma$. Dette er $X_1$ med $\text{E}(X_1)=5$ og $\text{SD}(X_1)=1$.

Graf (1) = $\underline{\underline{X_4}}$, graf (2) = $\underline{\underline{X_3}}$, graf (3) = $\underline{\underline{X_2}}$, graf (4) = $\underline{\underline{X_1}}$.

Vi skal finne hvilken variabel som har $P(7<X<14)=\mathrm{0,75}$.

Intervallet $(7,14)$ strekker seg fra 7 til 14. Vi undersøker hvilken forventningsverdi som passer.

Eliminering av $X_1$ og $X_2$ ($\mu =5$):

For $X_1$ ($\mu =5$, $\sigma =1$): Verdien 7 er $2\sigma$ over gjennomsnittet. Det er svært lite sannsynlighet i halen over 7, så $P(7<X_1<14)$ er tilnærmet 0. Dette er langt fra 0,75.

For $X_2$ ($\mu =5$, $\sigma =3$): Verdien 7 er $\frac{2}{3}\sigma$ over gjennomsnittet. Hele venstre halvdel av fordelingen (som utgjør 50 %) ligger under $\mu =5$, og en betydelig del ligger mellom 5 og 7. Dermed er $P(7<X_2<14)$ klart under 0,5. Ikke aktuelt.

Eliminering av $X_4$ ($\mu =10$, $\sigma =1$):

For $X_4$: Verdien 7 er $3\sigma$ under gjennomsnittet og 14 er $4\sigma$ over gjennomsnittet. Nesten all sannsynlighet ligger innenfor $3\sigma$ fra gjennomsnittet, så $P(7<X_4<14)\approx 1$. Dette er mye høyere enn 0,75.

$X_3$ er riktig ($\mu =10$, $\sigma =3$):

For $X_3$: Intervallet $(7,14)$ har venstre grense $7=10-3=\mu -\sigma$ og høyre grense $14=\mu +\frac{4}{3}\sigma$.

• $P(X_3<7)=P(Z<\frac{7-10}{3})=P(Z<-1)$. Av 68 %-regelen er $P(\mu -\sigma <X<\mu +\sigma )\approx \mathrm{0,68}$, så $P(X<\mu -\sigma )\approx \frac{1-\mathrm{0,68}}{2}=\mathrm{0,16}$.
• Den resterende sannsynligheten til høyre for 14 er liten, ettersom 14 er godt over gjennomsnittet og kurven faller raskt.
• Samlet gir dette $P(7<X_3<14)=1-P(X_3\le 7)-P(X_3\ge 14)\approx 1-\mathrm{0,16}-\mathrm{0,09}=\mathrm{0,75}$.

Det er $\underline{\underline{X_3}}$ som har $P(7<X<14)=\mathrm{0,75}$.