Fibonaccitall og regneark
Lov på eksamen
- Kalkulator
- CAS
- Graftegner og regneark
- Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kan den løses uten PC?
Ingen av deloppgavene kan løses helt uten PC.
Fra 2027 er det bare kalkulator og skriftlige hjelpemidler på del 2. Vurderingen er gjort med KI og kan inneholde feil.
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Tallene i tallfølgen
kalles fibonaccitallene. Hvert nye tall er summen av de to foregående.
Lag et regneark der du i en kolonne regner ut de 15 første fibonaccitallene.
Ane og Trine har undersøkt fibonaccitallene.
Ane påstår at summen av de første fibonaccitallene alltid er én mindre enn fibonaccitall nummer .
Hun ser for eksempel at .
Trine påstår at når hun summerer annet hvert fibonaccitall, vil hun alltid få fibonaccitallet som kommer rett etter siste ledd i summen.
Hun ser for eksempel at .
Bruk regnearket fra oppgave a) og undersøk om det Ane og Trine påstår, kan være riktig.
Fasit
Se regneark med rekursiv formel.
Begge påstander ser riktige ut – stemmer for alle 15 Fibonacci-tall i regnearket.
LøsningsforslagKI-generert
Vi setter opp regnearket med tre kolonner: ett løpenummer og én kolonne for Fibonacci-tallene.
Oppsett (Excel / Google Sheets):
| Celle | Innhold | Verdi |
|---|---|---|
| A1 | n | — |
| A2 | 1 | 1 |
| A3 | =A2+1 | 2 |
| … | (dra ned) | … |
| B1 | Fibonacci | — |
| B2 | 1 | 1 |
| B3 | 1 | 1 |
| B4 | =B3+B2 | 2 |
| B5 | =B4+B3 | 3 |
| … | (dra ned til B16) | … |
Formelen =B3+B2 er rekursiv: hvert tall er summen av de to foregående. Vi drar formelen ned til rad 16 (B2–B16 gir de 15 første Fibonacci-tallene).
De 15 første Fibonacci-tallene er:
Vi utvider regnearket med to nye kolonner for å undersøke påstandene.
Anes påstand: Summen av de første Fibonacci-tallene er alltid lik Fibonacci-tall nummer minus 1.
Vi legger til en kolonne C med løpende sum: i C2 skriver vi =B2, og i C3 og nedover: =C2+B3. I kolonne D sjekker vi om summen er lik : =B4-1 (for n=1, altså B4 er Fibonacci nr. 3).
| Sum av første | Stemmer? | ||
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | Ja | |
| 2 | 2 | Ja | |
| 3 | 4 | Ja | |
| 4 | 7 | Ja | |
| 5 | 12 | Ja | |
| 6 | 20 | Ja | |
| 7 | 33 | Ja |
Mønsteret holder seg gjennom alle 15 tallene. Anes påstand ser riktig ut.
Trines påstand: Summen av annenhvert Fibonacci-tall (1., 3., 5., … ledd) er alltid lik Fibonacci-tallet som kommer rett etter siste ledd i summen.
Vi legger til en kolonne E med løpende sum av annenhvert tall: i E2 skriver vi =B2, og i E4: =E2+B4, i E6: =E4+B6 osv. (vi hopper over partallsradene).
| Ledd i summen | Sum | Neste Fibonacci-tall | Stemmer? |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | Ja |
| 1, 2 | 3 | 3 | Ja |
| 1, 2, 5 | 8 | 8 | Ja |
| 1, 2, 5, 13 | 21 | 21 | Ja |
| 1, 2, 5, 13, 34 | 55 | 55 | Ja |
| 1, 2, 5, 13, 34, 89 | 144 | 144 | Ja |
| 1, 2, 5, 13, 34, 89, 233 | 377 | 377 | Ja |
Mønsteret holder seg gjennom alle 15 tallene. Trines påstand ser riktig ut.
Konklusjon: Regnearket viser at begge påstander stemmer for de 15 første Fibonacci-tallene. Vi kan ikke bevise dem generelt med et regneark, men regnearket gir god grunn til å tro at begge er riktige.