Faktorisere polynom og løse ulikhet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et polynom $P$ er gitt ved

P(x) = x^3 - 3x^2 - 13x + 15

Forklar at $P(x)$ er delelig med $(x-1)$ .

Løs ulikheten $P(x) > 0$ .

Fasit

$P(1) = 0$ , så $(x-1)$ er faktor (faktorteoremet).

$P(x) = (x-1)(x-5)(x+3)$ . $P(x) > 0$ for $x \in \langle -3, 1 \rangle$ og $x \in \langle 5, \rightarrow \rangle$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi beregner $P(1)$ :

P(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 - 13 \cdot 1 + 15 = 1 - 3 - 13 + 15 = 0

Siden $P(1) = 0$ , er $x = 1$ et nullpunkt for $P(x)$ . Ifølge faktorteoremet gjelder det at dersom $P(a) = 0$ , er $(x - a)$ en faktor i $P(x)$ .

$P(x)$ er derfor delelig med $(x - 1)$ .

Vi utfører polynomdivisjon for å finne de resterende faktorene:

\frac{P(x)}{x - 1} = \frac{x^3 - 3x^2 - 13x + 15}{x - 1}

\begin{aligned} x^3 - 3x^2 - 13x + 15 &: (x - 1) = x^2 - 2x - 15 \\ -(x^3 - x^2) & \\ \hline -2x^2 - 13x + 15 & \\ -(-2x^2 + 2x) & \\ \hline -15x + 15 & \\ -(-15x + 15) & \\ \hline 0 & \end{aligned}

Vi faktoriserer andregradsleddet $x^2 - 2x - 15$ videre ved å finne to tall som multipliserer til $-15$ og adderer til $-2$ : det er $-5$ og $3$ .

x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)

Dermed er:

P(x) = (x - 1)(x - 5)(x + 3)

Nullpunktene er $x = -3$ , $x = 1$ og $x = 5$ .

Fortegnsskjema for $P(x) > 0$ :

	$x < -3$	$x = -3$	$-3 < x < 1$	$x = 1$	$1 < x < 5$	$x = 5$	$x > 5$
$(x+3)$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$(x-1)$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$(x-5)$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$P(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

$P(x) > 0$ når produktet av de tre faktorene er positivt.

\boxed{x \in \langle -3, 1 \rangle \cup \langle 5, \rightarrow \rangle}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Polynomdivisjon, Ulikheter, Faktorisering

Faktorisere polynom og løse ulikhet

Sync på tvers av enheter

Faktorisere polynom og løse ulikhet

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave