Faktorisere polynom og løse ulikhet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et polynom $P$ er gitt ved

P (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 13 x + 15

Forklar at $P (x)$ er delelig med $(x - 1)$ .

Løs ulikheten $P (x) > 0$ .

Fasit

$P (1) = 0$ , så $(x - 1)$ er faktor (faktorteoremet).

$P (x) = (x - 1) (x - 5) (x + 3)$ . $P (x) > 0$ for $x \in ⟨ - 3, 1 ⟩$ og $x \in ⟨ 5, \to ⟩$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi beregner $P (1)$ :

P (1) = 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 13 \cdot 1 + 15 = 1 - 3 - 13 + 15 = 0

Siden $P (1) = 0$ , er $x = 1$ et nullpunkt for $P (x)$ . Ifølge faktorteoremet gjelder det at dersom $P (a) = 0$ , er $(x - a)$ en faktor i $P (x)$ .

$P (x)$ er derfor delelig med $(x - 1)$ .

Vi utfører polynomdivisjon for å finne de resterende faktorene:

\frac{P (x)}{x - 1} = \frac{x^{3} - 3 x^{2} - 13 x + 15}{x - 1}

\begin{matrix} (x^{3} - 3 x^{2} - 13 x + 15 & ) : (x - 1) = x^{2} - 2 x - 15 \\ x^{3} - 1 x^{2} + 0 x + 0 \\ - 2 x^{2} - 13 x + 15 \\ - 2 x^{2} + 2 x + 0 \\ - 15 x + 15 \\ - 15 x + 15 \\ 0 \end{matrix}

Vi faktoriserer andregradsleddet $x^{2} - 2 x - 15$ videre ved å finne to tall som multipliserer til $- 15$ og adderer til $- 2$ : det er $- 5$ og $3$ .

x^{2} - 2 x - 15 = (x - 5) (x + 3)

Dermed er:

P (x) = (x - 1) (x - 5) (x + 3)

Nullpunktene er $x = - 3$ , $x = 1$ og $x = 5$ .

Fortegnsskjema for $P (x) > 0$ :

Fortegnslinje for P(x)

$P (x) > 0$ når produktet av de tre faktorene er positivt.

x \in ⟨ - 3, 1 ⟩ \cup ⟨ 5, \to ⟩

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2018, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Polynomdivisjon, Ulikheter, Faktorisering

Faktorisere polynom og løse ulikhet

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Faktorisere polynom og løse ulikhet

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Faktorisere polynom og løse ulikhet

Faktorisere polynom og løse ulikhet

Lov på eksamen

Temaer