Etterspørselsfunksjon og prisreduksjon

En bedrift produserer en vare. Etterspørselen $q$ per uke for denne varen er gitt ved

q(p) = 1400 \cdot e^{-0{,}024p}, \quad p \in [10, 100]

Her er $p$ prisen i kroner for én enhet av varen.

Bestem prisen per enhet når etterspørselen er 500 enheter per uke.

Maria, som er salgsansvarlig i bedriften, påstår at dersom prisen per enhet økes med 1 krone, vil etterspørselen gå ned med 2,4 %, uavhengig av hva prisen per enhet er i utgangspunktet.

Gjør beregninger, og avgjør om påstanden til Maria stemmer med modellen $q$ .

Bedriften ønsker å tømme lagerbeholdningen og vil derfor sette ned prisen på varen.

Hvor mange kroner må prisen per enhet settes ned for at etterspørselen skal dobles?

Fasit

$p \approx 42{,}9 \mathrm{~kr}$

Nedgangen er ca. $2{,}37 \,\%$ per krone, uavhengig av prisen. Påstanden stemmer tilnærmet.

Ca. $28{,}9 \mathrm{~kr}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser $q(p) = 500$ i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS: etterspørsel

Fra linje 2: $p \approx 42{,}9$ .

Prisen per enhet er ca. $\underline{\underline{42{,}9 \mathrm{~kr}}}$ når etterspørselen er 500 enheter per uke.

Vi undersøker hva som skjer med etterspørselen når prisen økes med 1 krone:

\frac{q(p+1)}{q(p)} = \frac{1400 \cdot e^{-0{,}024(p+1)}}{1400 \cdot e^{-0{,}024p}} = e^{-0{,}024} \approx 0{,}9763

Nedgangen er

1 - e^{-0{,}024} \approx 1 - 0{,}9763 = 0{,}0237 = 2{,}37 \,\%

Nedgangen er ca. $2{,}37 \,\%$ , som er uavhengig av prisen $p$ . Påstanden til Maria stemmer tilnærmet — nedgangen er ca. $2{,}4 \,\%$ (mer presist $2{,}37 \,\%$ ), og den er uavhengig av utgangsprisen, slik Maria påstår.

Vi skal finne $d$ slik at $q(p - d) = 2 \cdot q(p)$ :

1400 \cdot e^{-0{,}024(p-d)} = 2 \cdot 1400 \cdot e^{-0{,}024p}

e^{-0{,}024p + 0{,}024d} = 2 \cdot e^{-0{,}024p}

e^{0{,}024d} = 2

0{,}024d = \ln 2

d = \frac{\ln 2}{0{,}024} \approx \underline{\underline{28{,}9 \mathrm{~kr}}}

Prisen per enhet må settes ned med ca. 28,9 kr for at etterspørselen skal dobles.

Oppgavedata

Poeng: 5
Temaer: etterspørsel, eksponentialfunksjoner, økonomi
Kompetansemål: Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene