Etterspørsel og grensekostnad vare

En ny vare blir lansert i et område. Vi antar at funksjonen $q$ gitt ved

q(t) = 230 \cdot e^{0{,}015t}, \quad t \in [0, 52]

er en god modell for etterspørselen etter varen per uke, $t$ uker etter lanseringen.

Bruk graftegner til å tegne grafen til $q$ .

Enhetsprisen for varen settes lik 50 kroner det første året.

Bestem inntekten i uke 40 etter lanseringen.

Bestem den samlede inntekten de første 52 ukene etter lanseringen.

Etter at varen har vært i markedet i ett år, vil enhetsprisen $p$ kroner være en funksjon av den ukentlige etterspørselen $x$ . Vi går ut fra at $p$ er gitt ved

p(x) = -0{,}01x + 60, \quad x \in [500, 2000]

Grensekostnaden ved produksjon av $x$ enheter er

K'(x) = 0{,}02x + 25, \quad x \in [500, 2000]

Hva må enhetsprisen være for at overskuddet skal bli størst mulig?

Fasit

Se løsningsforslag

$\approx 20\,955 \text{ kr}$

$\approx 905\,795 \text{ kr}$

$51{,}25 \text{ kr}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner grafen til $q(t) = 230 \cdot e^{0{,}015t}$ for $t \in [0, 52]$ i GeoGebra.

Graf: Etterspørsel

Inntekten i uke 40 er antall solgte enheter ganger enhetspris:

I_{40} = q(40) \cdot 50 = 230 \cdot e^{0{,}015 \cdot 40} \cdot 50

Vi regner ut i CAS og får

I_{40} \approx \underline{\underline{20\,955 \text{ kr}}}

Den samlede inntekten er

I = 50 \cdot \int_0^{52} 230 \cdot e^{0{,}015t} \, \mathrm{d}t

Vi bruker CAS til å definere $q$ , beregne integralet og løse optimeringen:

CAS: Etterspørsel og grensekostnad

Fra linje 2 i CAS leser vi av at den samlede inntekten er $\approx \underline{\underline{905\,795 \text{ kr}}}$ .

Inntektsfunksjonen er $I(x) = x \cdot p(x) = x(-0{,}01x + 60) = -0{,}01x^2 + 60x$ .

Grenseinntekten er $I'(x) = -0{,}02x + 60$ .

Overskuddet er størst når grenseinntekt er lik grensekostnad. Fra linje 4 i CAS ser vi at $x = 875$ .

Enhetsprisen blir

p(875) = -0{,}01 \cdot 875 + 60 = \underline{\underline{51{,}25 \text{ kr}}}

Oppgavedata

Poeng: 8
Temaer: etterspørsel, eksponentialfunksjoner, grenseinntekt og grensekostnad, økonomi
Kompetansemål: Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene